Wahr/Falsch Aussagen über Geraden und Ebenen

Question

Ich soll begründen, welche der folgenden Aussagen über Geraden g₁, g₂, g₃ und Ebenen E₁, E₂, E₃ im Raum richtig und welche falsch ist. Ich soll das ggf. mit einem Gegenbeispiel begründen.

a) Ist g₁ parallel zu g₂ und g₂ parallel zu g₃ dann ist auch g₁ parallel zu g₃.

Hätte ich gesagt das ist wahr, weil es dazu doch ein Gesetz gibt (weiß nur den Namen nicht mehr)

b) Ist E₁ parallel zu E₂ und E₂ parallel zu E₃, dann ist auch E₁ parallel zu E₃.

Hier hätte ich auch wahr getippt.

c) Ist g₁ orthogonal zu g₂ und g₂ orthogonal zu g₃, dann ist g₁ parallel zu g₃.

Falsch, da zum Gegenbeispiel

g₁:x=(1,2,3)*r, g₂: x=(2,-1,0)s, g₃: x=(1,2,4)t,

d) Ist E₁ orthogonal zu E₂ und E₂ orthogonal zu E₃, dann ist E₁ parallel zu E₃.

Hier bräuchte ich eure Hilfe

e) Ist g₁ parallel zu E und E parallel zu g₂, dann ist auch g₁ parallel zu g₂.

Hier bräuchte ich auch eure Hilfe

f) Ist g₁ orthogonal zu E und E orthogonal zu g₂, dann ist auch g₁ orthogonal zu g₂.
Hier bräuchte ich auch eure Hilfe

Answer 1

a) Ist g1 parallel zu g2 und g2 parallel zu g3 dann ist auch g1 parallel zu g3.

Wahr. Bei zwei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren linear abhängig.

v1 ~ v2 und v2 ~ v3 → v1 ~ v3

b) Ist E1 parallel zu E2 und E2 parallel zu E3, dann ist auch E1 parallel zu E3.

Wahr. Bei zwei parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren linear abhängig.

n1 ~ n2 und n2 ~ n3 → n1 ~ n3

c) Ist g1 orthogonal zu g2 und g2 orthogonal zu g3, dann ist g1 parallel zu g3.

Falsch

g1: X = r * [1, 0, 0] ; g2: X = r * [0, 1, 0] ; g3: X = r * [0, 0, 1]

Dein Beispiel geht aber auch

d) Ist E1 orthogonal zu E2 und E2 orthogonal zu E3, dann ist E1 parallel zu E3.

Falsch. Nimm die 3 Koordinatenebenen

E1 : x = 0 ; E2: y = 0 ; E3: z = 0

e) Ist g1 parallel zu E und E parallel zu g2, dann ist auch g1 parallel zu g2.

Falsch

E: z = 0 ; g1: X = [0, 0, 1] + r * [1, 0, 0] ; g2: X = [0, 0, 2] + r * [0, 1, 0]

f) Ist g1 orthogonal zu E und E orthogonal zu g2, dann ist auch g1 orthogonal zu g2.

Falsch

E: z = 0 ; g1: X = [0, 0, 0] + r * [0, 0, 1] ; g2: X = [1, 0, 0] + r * [0, 0, 1]

Comments

Wow super!!! Vielen lieben Dank für die tolle Antwort!

Answer 2

Ist E1 orthogonal zu E2 und E2 orthogonal zu E3,

Diese Voraussetzung wird z.B. erfüllt von E1: xy-Ebene, E2: yz-Ebene, E3: xz-Ebene.

Gilt hier auch die Behauptung?

Ist g1 parallel zu E und E parallel zu g2, dann ist auch g1 parallel zu g2.

Sei E deine Tischfläche, g1 ein Bleistift in Nord-Süd-Richtung und g2 ein Bleistift in Ost-West-Richtung...

ist g1 orthogonal zu E und E orthogonal zu g2, dann ist auch g1 orthogonal zu g2.

Nimm mal zwei parallele Geraden.

Comments

Ok, danke für deine Hinweise, ich schau sie mir heute Nachmittag mal an. Stimmen die restlichen Aufgaben sonst so? Also die Lösungen, die ich aufgeschrieben habe