Bungee Jumping (Funktion h(t)...)

Question

Aufgabe:

Auf einem großen Musikfestival im Hochsommer möchte der Veranstalter den Besuchern ein besonderes Bungee-Jumping -Event anbieten.Bei einem Sprung am Bungeeseil soll der Springer in einem See eintauchen ,um anschliessend wieder von dem Seil in die Höhe geschleudert zu werden .Ein Programm zur Darstellung un d Berechnung des Sprungverlaufs ,liefert die Funktion h mit h(t)= 12/11 t^3 - 81/11t^2 +48 , wobei t die Zeit nach dem Absprung in Sekunden und h(t) die Höhe über der Wasseroberfläche in Meter zum Zeitpunkt t beschreibt .

d) Der Springer darf auf keinem Fall mit einer höheren Geschwindigkeit als 25km/h ins Wasser eintauchen .

2) In welchen Zeitintervall ist der Springer höher als 10m

4) Mit welcher Geschwindigkeit fällt der Springer eine halb Sekunde nach dem Absprung ?

1) Wie hoch ist der Springer nach 2 Sekunden nach dem Absprung ?

3) Mit welcher mittleren Geschwindigkeit fällt der Springer zwischen der ersten und dritten Sekunde nach dem Absprung ?

Problem/Ansatz:

Ich habe Nr.1 und 3 berechnet und wollte fragen ,ob sie richtig sind und bei der Nr. d,2 und 4 bräuchte ich Hilfe

Answer 1

Hallo

 zu 3) die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit, also h'(t) die durchschnittliche Geschwindigkeit ist dann (h'(3)+h'(1))/2

mit h'(t) löst du auch vier.

höher als 10m: von 0 bis h(t)=10, das kannst du wahrscheinlich nur ungefähr. dass t>2s weisst du aus 1 also probier 3s und 4s

d) mit h'(t)<25m/s  und t aus h(t)=0

Gruß lul

Comments

Hallo lul,

die durchschnittliche Geschwindigkeit ist dann (h'(3)+h'(1))/2

das würde wohl nur dann funktionieren, wenn

 v(t) = h '(t) = 36·t^2/11 - 162·t/11 in [1 ; 3]  streng monoton wäre, was nicht zutrifft.

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang, mir ist irgendwie völlig klar, dass man das so wie von Lul vorgeschlagen nicht berechnen kann. Leider ist mir die Funktionsweise des Monotonie Kriteriums an der Stelle auch unklar. Könntest du das ein wenig ausführen?

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Ist mir jetzt auch nicht mehr klar. Der richtige Kommentar wäre gewesen:

\( \overline{v} = \frac{1}{3-1}\int\limits_{1}^{3} h'(t) dt \)

Answer 2

Hallo LittleMix,

h(t) = 12/11 t³ - 81/11t² + 48

v(t) = h'(t) = 36·t^2/11 - 162·t/11   

1) und 3) sind  richtig   (Minuszeichen bedeutet Bewegung nach unten)

2) In welchen Zeitintervall ist der Springer höher als 10m?

      12/11·t^3 - 81/11·t^2 + 48 ≥ 10  ⇔  12/11·t^3 - 81/11·t^2 + 38 ≥ 0

      zuerst  12/11·t³ - 81/11·t² + 38 = 0

    Nullstelle im Sinne der Aufgabenstellunq mit  Näherungslösung (Newton #):  t ≈ 3,08

 Als Startwert für das NV bietet sich der Wert t₁ = 2 zwischen den Nullstellen  t = 0 und t = 4,5 der Ableitung h '(t) [Extremstellen] an     
             t ∈ [0 ; 3.08]

4) Mit welcher Geschwindigkeit fällt der Springer eine halbe Sekunde nach dem Absprung ?

  v( 1/2 s)  =  36·(1/2)^2/11 - 162·(1/2)/11 [m/s]   ≈ -6.545 m/s    ( - bedeutet nach unten)

Gruß Wolfgang

# Nachtrag zum NV:$$x_{neu} =  x_{alt} - \frac{f(x_{alt})}{ f ' (x_{alt})}$$

Comments

Habe gerade gesehen, dass d) fehlt:

h(t) = 0  beim Eintauchen

 12/11·t^3 - 81/11·t^2 + 48 = 0  | * 11

12 t³ - 81 t² + 528 = 0

Auch hier findet man mit der Ableitung der linken Seite die Extremstellen t=0 und t=4,5 und damit einen geeigneten Startwert  t= 2 für das Newtonverfahren:

damit ergibt sich t = 4

und damit  | h'(4) | ≈ 6.545 [m/s] ≈ 23,56 km/h < 25 km/h

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t=4 kann man natürlich auch durch Probieren finden.

Mit Polynomdivision und pq-Formel muss  man dann  aber t=4 als 1. Nullstelle mit t>0 identifizieren.

Wenn man den Graph plottet, kann man sich natürlich solche Überlegungen ersparen!

Answer 3

h ( t ) = 12/11 * t^3 - 81/11 * t^2 + 48
h´( t ) = v ( t ) = 36/11 * t^2 - 162/11 * t
Bis zur Wasseroberfläche h = 0
12/11 * t^3 - 81/11 * t^2 + 48 = 0
t = 4 sec
bei t = 4 sec ist die Geschwindigkeit
v ( 4 ) = 6.55 m/s entspricht 23.58 km/h
Der Sprung geht von daher in Ordnung.

2) In welchen Zeitintervall ist der Springer höher
als 10 m
12/11 * t^3 - 81/11 * t^2 + 48 = 10
t = 3.08 sec
Zwischen 0 und 3.08 sec
Berechnet mit Newton.

4) Mit welcher Geschwindigkeit fällt der Springer eine halb Sekunde nach dem Absprung ?
v ( 0.5 ) = 6.55 m/s

1.) Wie hoch ist der Springer nach 2 Sekunden nach dem Absprung ?
h ( 2 ) = 27.27 m

3) Mit welcher mittleren Geschwindigkeit fällt der
Springer zwischen der ersten und dritten Sekunde
nach dem Absprung ?

( ∫ v dt zwischen 1 und 3 ) geteilt durch ( 3 - 1 )
15.27 m/s

Comments

1) und 3) hat der Fragesteller doch richtig gelöst.

Bei  d) und 2) kann man sich natürlich einige Überlegungen ersparen, wenn man den Graphen von h(t) einfach plottet und die Nullstellen (und damit einen geeigneten Startwert für das NV) optisch zuordnen kann.