Bestimme eine Basis von W = span(v_1, v_2, v_3, v_4)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie Basis eine Basis von

$$W=span(v_1,v_2,v_3,v_4)$$

wobei

$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1  \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} , v_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Vielleicht versteh ich die Aufgabenstellung falsch.

Aber eine Basis nennt man doch vektoren die ein minimales Erzeugendessystem von W angeben und linearunabhängig sind.

Aber die gegeben Vektoren sind gar nicht linearunabhängig.

Muss ich nun herausfinden welchen der 4 Vektoren ich "weglassen" kann ? und die 3 die übrig bleiben sind meine Basis.

Answer 1

Um zu sehen, welchen du weglassen kannst, musst du einen

finden, der als Linearkombination der übrigen

darstellbar ist . (Das geht bei linear abhängigen immer.)

Den kannst du dann weglassen und musst schauen, ob die

restlichen linear unabhängig sind. Wenn ja, bilden sie eine

Basis ansonsten musst du den Prozess wiederholen, also

schauen, welchen der drei du weglassen kannst. etc.

In deinem Fall sind die restlichen 3 allerdings lin. unabh.

Answer 2

Hallo Kathreena,

Muss ich nun herausfinden welchen der 4 Vektoren ich "weglassen" kann ? und die 3 die übrig bleiben sind meine Basis.

zuerst kannst du den Rang der Matrix

⎡ 1   1  0   2 ⎤
⎢ 2  -1  1  -1 ⎥
⎢ 0   1  1  -1 ⎥
⎣ 1   1  1   0 ⎦

bestimmen.  (Rang = 3)  →  gesuchte Basis hat 3 Vektoren

Dann kannst du jeweils einen der vier Vektoren weglassen. Wenn sich immer noch Rang 3 ergibt, hast du eine Basis gefunden.

Nachtrag:

In deinem Fall wirst du beim 1. Versuch fündig, egal welchen Vektor du weglässt.

Gruß Wolfgang

Comments

Angenommen, ich müsste einen bestimmten "weglassen", wie geht man da vor, ohne alle durchzuprobieren und ohne den Rang zu berechnen, weil wir das noch nicht gemacht haben.

Gibts da irgendeine allgemeine vorgehensweise. Was wäre z.B. wenn ich 10 Vektoren hätte, und nur eine bestimmte kombination würde eine Basis ergeben.