Aufgabe:
Zeige, dass {0123456789}n (hoch n) aus genau 10n Elementen besteht.
Problem/Ansatz:
Hallo.
Also dass die Menge aus 10 Elementen besteht ist ja klar. Allerdings irritiert mich das n und ich weiß nicht wie das zeigen sollen
Danke für die Hilfe!
Zeige : ∣{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}n∣=10n\text{Zeige: }\left|\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}^{n}\right|=10^nZeige : ∣{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}n∣=10nDenkbar wäre ein Beweis per vollständiger Induktion, den Induktionsanfang hast du ja schon.
Ah danke, das probiere ich mal aus!
Anschaulich lassen sich die Elemente der beschriebenen Kreuzproduktmenge, also die n-Tupel, als natürliche Zahlen mit höchstens n Stellen im Stellenwertsystem zur Basis 10 auffassen. Das sind die Zahlen 0,1,2,…(10n−1)0,1,2,\dots \left(10^n-1\right)0,1,2,…(10n−1), von denen es (natürlich) genau 1+(10n−1)=10n1+\left(10^n-1\right)=10^n1+(10n−1)=10n gibt.
Diese Interpretation ist eine Bijektion der angegebenen Kreuzproduktmenge auf die Menge der ersten 10n10^n10n natürlichen Zahlen (einschließlich der Null). Beide Mengen besitzen daher die gleiche Mächtigkeit.
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