Anzahl der Elemente einer Menge bestimmen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass {0123456789}^n (hoch n) aus genau 10^n Elementen besteht.

Problem/Ansatz:

Hallo.

Also dass die Menge aus 10 Elementen besteht ist ja klar. Allerdings irritiert mich das n und ich weiß nicht wie das zeigen sollen

Danke für die Hilfe!

Answer 1

$$\text{Zeige: }\left|\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}^{n}\right|=10^n$$Denkbar wäre ein Beweis per vollständiger Induktion, den Induktionsanfang hast du ja schon.

Comments

Ah danke, das probiere ich mal aus!

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Anschaulich lassen sich die Elemente der beschriebenen Kreuzproduktmenge, also die n-Tupel, als natürliche Zahlen mit höchstens n Stellen im Stellenwertsystem zur Basis 10 auffassen. Das sind die Zahlen \(0,1,2,\dots \left(10^n-1\right)\), von denen es (natürlich) genau \(1+\left(10^n-1\right)=10^n\) gibt.

Diese Interpretation ist eine Bijektion der angegebenen Kreuzproduktmenge auf die Menge der ersten \(10^n\) natürlichen Zahlen (einschließlich der Null). Beide Mengen besitzen daher die gleiche Mächtigkeit.