Vielen Dank für die schnellen Antworten!
Ja da steht wirklich "Gleichung" und nicht Funktion ;) (Steht so auf dem Übungsblatt^^)
Ok ich glaube ich hab´s jetzt gelöst:
Ausgangspunkt ist x₁x₂ = ± \( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \)
Beweis dass \( \sqrt{5} \) irrational ist:
Angenommen \( \sqrt{5} \) ist rational, dann gilt: Q = {\( \frac{p}{q} \) | p,q∈ Z, q≠0, vollständig gekürzt }.
\( \sqrt{5} \) = \( \frac{p}{q} \) | ()^2
5 = \( \frac{p^2}{q^2} \) | *q^2
p^2 = 5*q^2 → 5 teilt p^2 → 5|p
p = 5*r, r∈ Z
p einsetzen:
5*q^2 = (5r)^2 = 25*r^2 ↔ q^2 = 5*r^2 → 5 teilt q^2 → 5|q
Widerspruch, da \( \frac{p}{q} \) vollständig gekürzt sind nach Def.
Damit ist \( \sqrt{5} \) ∉ Q.
Nun zeige ich damit, dass x₁x₂ keine Lösung in Q haben.
Beweis:
x₁x₂ = ± \( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \)
Angenommen, \( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) ∈ Q, so gilt:
\( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) = \( \frac{p}{q} \) mit p,q∈ Z, q≠0.
Sei q = 2, somit ist q∈Z, passt!
Sei p = \( \sqrt{5} \)-1, da \( \sqrt{5} \) ∉ Z (da \( \sqrt{5} \) rational ist), ist auch \( \sqrt{5} \)-1 rational,
also kein Element der ganzen Zahlen. Damit ist p∉Z, und damit haben wir ein Widerspruch.
Es gibt also keine Lösung in Q.
