Aufgabe:
1)$$ \begin{array}{l}{\text { Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes: }} \\ {\text { (i) } \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) \text { (Was bedeutet das in Bezug auf das Pascalsche Dreieck?) }} \\ {\text { (ii) } \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}}\end{array} $$
2)$$ \begin{array}{c}{\text { Zeigen Sie: }} \\ {\sum_{k=0}^{n} k \left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=n p}\end{array} $$ Hinweis: Induktion macht hier das Leben schwer!
Problem/Ansatz:
ich sitze hier vor ein paar Problemen, aber erst einmal, was ich bisher habe:
1)$${ (i) }\sum _{ k=0 }^{ n } \left( \begin{array}{ l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \quad =\quad \quad ?\\ \\ { (ii) }\sum _{ k=0 }^{ n } \left(\begin{array}{ l } { n } \\ { k } \end{array} \right) p^{ k }(1-p)^{ n-k }\quad =\quad { (p+(1-p)) }^{ n }\quad =\quad 1$$
2)
Hier wird es nun ekelig. Da eine Induktion nicht gewählt werden soll, tippe ich einmal auf den Binomialkoeffizienten.
Meine Idee wäre es, $$\sum _{ k=0 }^{ n } k\left( \begin{array}{ l } { n } \\ { k } \end{array} \right) p^{ k }(1-p)^{ n-k } = np $$ irgendwie in $$ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) a^{k} b^{n-k} $$ zu überführen.
Nur habe ich keine Idee wie.
Könnte man vielleicht dies hier nutzen
$$\sum _{ k=0 }^{ n } k=\frac { 1 }{ 2 } n(n+1)\\ \sum _{ k=0 }^{ n } \left( \begin{ array }{ l } { n } \\ { k } \end{ array } \right) p^{ k }(1-p)^{ n-k }$$ ?
Indem man das einzelne k und den anderen Part extra umschreibt?
