Beweis mit Binomialkoeffizient. Zeige (n+1) über (k+1) = (n über k) + (n über k+1)

Question

Kann mir jemand sagen, wieso man sagen kann :

(n+1) über (k+1) = (n über k) + (n über k+1)?

Ich habe schon stundenlang versucht, das eine in das andere umzuformen, aber iCh Krieg es irgendwie nicht hin ://

Wenn man Zahlen einsetzt,  ergibt das alles ja auch Sinn, aber wie soll ich das beweisen, dass es stimmt?

Answer 1

Das ist die Regel, nach der das Pascalsche Dreieck gebastelt wird.

Comments

OK... Gibt es da n Beweis im Internet?

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Schau mal das hier durch (in verschiedenen Sprachen)

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient 

und hier https://www.mathelounge.de/236893/binomialkoeffizient-beweisen

bzw. bei "ähnlichen Fragen".

Answer 2

(N+1) über (k+1) = (n über k) + (n über k+1)

wie habt ihr denn (n über k ) definiert, etwa so:  n ! / ( k ! * ( n - k ) ! )   ????

dann ist ja    (n über k) + (n über k+1)

  n ! / ( k ! * ( n - k ) ! )    +     n ! / ( (k+1) ! * ( n - (k+1)  ) ! ) 

1. Bruch mit (k+1) erweitern

=  ((k+1)* n ! ) / ( (k+1) ! * ( n - k ) ! )    +     n ! / ( (k+1) ! * ( n - k - 1)  ) ! ) 

zweiten Bruch mit (n-k) erweitern

=    ((k+1)* n ! ) / ( (k+1) ! * ( n - k ) ! )    +  (  (n-k)* n ! / ( (k+1) ! * ( n - k )  ) ! ) 

einen Bruch draus machen

=    (    (k+1)* n !     +  (  (n-k)* n !  )   / ( (k+1) ! * ( n - k )  ) ! ) 

Klammer auflösen im Zähler

=    (    (k* n !   +  n!    +   n* n!  -  k* n !  )   / ( (k+1) ! * ( n - k )  ) ! ) 

=      (      n!    +   n* n!  )   / ( (k+1) ! * ( n - k )  ) ! ) 

n ! im Zähler ausklammern

=  ( n ! (     1  +   n  )      ) / ( (k+1) ! * ( n - k )  ) ! ) 

= (n+1) ! /   ( (k+1) ! * ( n - k )  ) ! )    

= (N+1) über (k+1)     q.e.d.