Binomialkoeffizienten addieren und vereinfachen: ((n+k) tief n) + ((n+k) tief (n+1)) = ?

Question

$$\begin{pmatrix} n+k\\n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+k\\n+1 \end{pmatrix}=?$$

Rekursions- und Summenformel für Binomialkoeffizienten gemäss Pascaldreieck

Answer 1

$$ \begin{pmatrix} n+k\\n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+k\\n+1 \end{pmatrix}=\frac{(n+k)!}{k!\cdot (n+k-k)!}+\frac{(n+k)!}{(n+1)!\cdot (n+k-(n+1))!}\\=\frac{(n+k)!}{k!\cdot n!}+\frac{(n+k)!}{(n+1)!\cdot (k-1)!}=\frac{(n+k)!}{k\cdot (k-1)!\cdot n!}+\frac{(n+k)!}{(n+1)\cdot n!\cdot (k-1)!}\\=\frac{(n+k)!\cdot (n+1)}{k\cdot (k-1)!\cdot n!\cdot (n+1)}+\frac{(n+k)!\cdot k}{(n+1)\cdot n!\cdot (k-1)!\cdot k}=\frac{(n+k)!\cdot (n+k+1)}{(n+1)\cdot n!\cdot (k-1)!\cdot k}\\=\frac{(n+k+1)!}{(n+1)!\cdot k!}=\frac{(n+k+1)!}{k!\cdot (n+1)!}=\frac{(n+k+1)!}{k!\cdot (n+1+k-k)!}=\begin{pmatrix}n+k+1 \\ k \end{pmatrix} $$

Answer 2

$$\begin{pmatrix} n+k\\n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+k\\n+1 \end{pmatrix} = \\[20pt] \text{Symmetrieeigenschaft:} \\[10pt] \begin{pmatrix} n+k\\(n+k)-n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+k\\(n+k)-(n+1) \end{pmatrix} = \\[20pt] \begin{pmatrix} n+k\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+k\\k-1 \end{pmatrix} = \\[20pt] \text{Rekursionsformel (vgl. Pascalsches Dreieck):} \\[10pt] \\[20pt] \begin{pmatrix} n+k+1\\k\end{pmatrix} $$