Binomialkoeffizient und binomischer Lehrsatz. Summenzeichen und Pascalsches Dreieck

Question

Aufgabe:

1)$$\begin{array}{l}{\text { Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes: }} \\ {\text { (i) } \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) \text { (Was bedeutet das in Bezug auf das Pascalsche Dreieck?) }} \\ {\text { (ii) } \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}}\end{array}$$

2)$$\begin{array}{c}{\text { Zeigen Sie: }} \\ {\sum_{k=0}^{n} k \left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=n p}\end{array}$$ Hinweis: Induktion macht hier das Leben schwer!

Problem/Ansatz:

ich sitze hier vor ein paar Problemen, aber erst einmal, was ich bisher habe:
1)$${ (i) }\sum _{ k=0 }^{ n } \left( \begin{array}{ l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \quad =\quad \quad ?\\ \\ { (ii) }\sum _{ k=0 }^{ n } \left(\begin{array}{ l } { n } \\ { k } \end{array} \right) p^{ k }(1-p)^{ n-k }\quad =\quad { (p+(1-p)) }^{ n }\quad =\quad 1$$

2)

Hier wird es nun ekelig. Da eine Induktion nicht gewählt werden soll, tippe ich einmal auf den Binomialkoeffizienten.

Meine Idee wäre es, $$\sum _{ k=0 }^{ n } k\left( \begin{array}{ l } { n } \\ { k } \end{array} \right) p^{ k }(1-p)^{ n-k } = np$$ irgendwie in  $$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) a^{k} b^{n-k}$$ zu überführen.

Nur habe ich keine Idee wie.

Könnte man vielleicht dies hier nutzen

$$\sum _{ k=0 }^{ n } k=\frac { 1 }{ 2 } n(n+1)\\ \sum _{ k=0 }^{ n } \left( \begin{ array }{ l } { n } \\ { k } \end{ array } \right) p^{ k }(1-p)^{ n-k }$$ ?

Indem man das einzelne k und den anderen Part extra umschreibt?

Answer 1

Deine TeX-Rechnung und das Wort

Binomialkoeffizienten in Überschrift bitte noch korrigieren.

Wenn du dich auf eine Frage / Frage beschränkst, ist die Chance, dass jemand antwortet grösser. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

1. (i)

Was bedeutet das in Bezug auf das Pascalsche Dreieck?

Es wird über die Zeile Nr. n im Pascalschen Dreieck summiert.

D.h. man hat dann die Anzahl aller Teilmengen einer n-elementigen Menge M. Diese kann man als 2ⁿ abzählen. Begründung: Jedes Element von hat zwei Möglichkeiten: Entweder es gehört zur Teilmenge oder nicht. Somit rechnet man 2*2*2*...*2 = 2ⁿ .

Ergänzung: Du kannst die Summe in 1.(i) auch als (1+1)ⁿ lesen.

Comments

Hallo Lu,

leider habe ich keine Rechte um meine Frage zu beantworten.

Allerdings war die Idee so oder so falsch und könnte gelöscht werden.

Danke für die Hilfe zu (i) ich muss da noch einmal drüber nachdenken.

---

leider habe ich keine Rechte um meine Frage zu bearbeiten.

Eine gewisse Bearbeitungszeit haben alle, wenn sie eine Frage stellen.

Ansonsten einfach eine bessere Version als Kommentar zur Frage nachreichen.

Answer 2

Zu 2 : betrachte

np=np((1-p)+p)^n-1

un rechne mit dem binomischen Lehrsatz aus.

Comments

Hi.

Ich betrachte diese Gleichung und sie macht auch Sinn, nur habe ich keinen schimmer, wie ich hier

$$\sum _{ k=0 }^{ n } k\left( \begin{array}{ l } { n } \\ { k } \end{array} \right) p^{ k }(1-p)^{ n-k } $$ den
binomischen Lehrsatz anwenden soll.
Wenn $${ (ii) }\sum _{ k=0 }^{ n } \left( \begin{array}{ l } { n } \\ { k } \end{array} \right) p^{ k }(1-p)^{ n-k }\quad =\quad { (p+(1-p)) }^{ n }\quad =\quad 1$$
das hier stimmen sollte, würde man am Ende auf
$${ (p+(1-p)) }^{ n }$$ kommen.

Also muss dieses einzelne k etwas bewirken, nur wüsste ich nicht wie ich es einbinden soll.
Meine erste Idee war hiermit zu arbeiten $$\sum _{ k=0 }^{ n } k=\frac { 1 }{ 2 } n(n+1)$$, allerdings ist dies auch nicht sinnvoll

---

Also meine Idee mit $$\sum _{ k=0 }^{ n } k=\frac { 1 }{ 2 } n(n+1)$$ ist tatsächlich Blödsinn.

 Ich frage mich wie du auf np=np((1-p)+p)^(n-1) gekommen bist. Es schaut fast so aus, als hättest du differenziert:)

---

Ich frage mich wie du auf np=np((1-p)+p)^(n-1) gekommen bist. Es schaut fast so aus, als hättest du differenziert:)

Nein jc2144 hat einfach 1 etwas komplizierter hingeschrieben.

np

=np(1)^(n-1)

=np( 1 - p + p)^(n-1)

=np((1-p) + p)^(n-1)