Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihe: sum 2^(k+2)/3^(k-1) for k=1 to infinity

Question

Ich bin gerade etwas am verzweifeln.

Zu lösen ist folgende Aufgabe:

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.
(c) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \) 2^k+2/3^k-1

.

Mein Ansatz war es über die Indexverschiebung und geometrische Reihe zu versuchen. Aber ich komm auf kein Ergebnis. 

Comments

P.s. die Summe beginnt bei k=1 nicht bei n=0

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Mit \(k:=n+1\) funktioniert die Idee: $$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2^{k+2}}{3^{k-1}} = \sum \limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{2^{n+3}}{3^n} $$

Answer 1

Hallo

 schreib in der Summe (2/3)^k und zieh den Rest vor die Summe.

Gruß lul

Comments

Also steht vor der Summe dann quasi: (-4/3)?

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Ich würde sagen, 12.

\( \frac{2^{k+2}}{3^{k-1}} = \frac{2^k*2^2*3}{3^k} = \frac{2^k}{3^k}*12 \)

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Wo kommt bei dir die 3 im Nenner her? Wenn müsste dort doch dann eigentlich -3 stehen oder?

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\( 3^{k-1} = \frac{3^k}{3} \)

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Ok. Der Schritt war mir nicht klar. Danke.

Ich komme jetzt auf ein Grenzwert von 48. Kann das sein?

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Diese Maschine https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+2%5E(k%2B2)%2F3%5E(k-1)+for+k%3D0+to+infinity kommt auf 36.

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Ich sehe gerade, dass die Summe bei k=1 beginnt und habe die Fragestellung nun angepasst.

Damit bekommt https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+2%5E(k%2B2)%2F3%5E(k-1)+for+k%3D1+to+infinity nun 24.

sum 2^(k+2)/3^(k-1) for k=1 to infinity

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Folgende Regel sollte bekannt sein:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}({\frac{2}{3})^k} = \frac{1}{1-\frac{2}{3}} \)

24 ist richtig.

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Wenn die Summe bei k=1 beginnt, kann man vom Ergebnis einfach noch den Nullten Summanden subtrahieren.

Alternative: Formel so lernen, dass man den Startsummanden a auch noch in der Formel hat. ( a statt 1 über dem Bruchstrich).

Answer 2

2^(k+2)/3^(k-1)

= 3*2^2 * (2/3)^k

D.h. die 12 kommt vor das Summenzeichen.

Dann Summenzeichen über "geometrische Reihe" entfernen, usw.

Resultat voraussichtlich 24.