Surjektivität beweisen für folgende Funktion f(x) = ln ( (1-x) / (1+x) )

Question

Wie kann ich die Surjektivität der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = ln((1-x)/(1+x)) beweisen ?

Comments

Definiere doch mal den Definitionsbereich und den Zielbereich.

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Ohne Definitions- und Wertebereich kannst du hier gar nicht antworten.

Beachte zudem: Eine Gleichung ist weder surjektiv noch injektiv. Ich habe deshalb Gleichung durch Funktion ersetzt.

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Definitionsbereich und Wertebereich :(-1, 1) ⊆ ℝ

Answer 1

Setze mal für \( x \) folgenden Wert ein $$ x = \frac{1-e^y}{1+e^y} $$ Was siehst Du dann?

Comments

könnten sie bitte genauer erklären, wie sie auf diesen wert gekommen sind ?

Answer 2

f(x)=ln((1-x)/(1+x))

f ist höchstens auf (-1,1) definiert.

Für x gegen -1+ strebt (1-x)/(1+x) gegen +∞, damit auch f gegen +∞.

Für x gegen +1- strebt (1-x)/(1+x) gegen 0+, damit strebt f gegen -∞.

Da f auf (-1,1) stetig ist, bildet f nach ganz ℝ ab und ist demnach surjektiv.