Aufgabe:
$$\begin{array}{l}{\text { Sei } f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \text { eine Abbildung, so dass } f(x y)=f(x)+f(y) \text { für alle }} \\ {x, y \in \mathbb{N} . \text { Zeigen Sie, dass } f\left(a^{n}\right)=n f(a) \text { gilt für alle } n \in \mathbb{N}}\end{array}$$
(Lineare Algebra 1)
Problem/Ansatz:
Hallo liebe Mitglieder,
ich schlage mich nun seit einigen Stunden mit dem Unverständnis bzgl. der o.g. Aufgabe rum. Dabei habe ich folgende Schwierigkeiten:
1. Ich verstehe es doch richtig, dass sowohl x als auch y Elemente des Definitionsbereichs von f sind, richtig?
2. Verstehe ich nicht was der Ausdruck $$ f(xy)=f(x)+f(y)$$ heißt. Ist das eine rekursive Funktion? Wenn ja, was ist ihr Startwert. Am liebsten würde ich diese Funktion in der mir vertrauten Form einer Menge sehen, aber ich habe keinen Ansatz wie das gehen soll.
3. In dem Ausdruck $$ f\left(a^{n}\right)=n f(a) $$ scheint mir a nicht definiert zu sein. Irgendwie ist es für mich suggestiv einleuchtend, dass a in N liegen dürfte, aber es ist nicht explizit angegeben. Ist es vielleicht eine Falle und man soll hinschreiben man könne diesen Satz nicht zeigen, weil a nicht definiert sei? Andereseits leuchtet mir auch ein zu sagen, dass a in N liegen muss, weil die Abbildung f auf der Menge der natürlichen Zahlen definiert ist.
4. Mit der Formel $$ f\left(a^{n}\right)=n f(a) $$ habe ich das gleiche Probleme wie mit $$ f(xy)=f(x)+f(y)$$. Ich verstehe überhaupt nicht was das soll. Mein Ansatz hierfür einfach Werte einzusetzen schlug genauso fehl, da ich einfach nicht verstehe was f sein soll und diese Rekursion (?) nicht kapiere.
