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Bild Mathematik Kann mir jemand bitte helfen

Wie soll ich an die Aufgabe rangehen?

Zeigen: Gleichung z^5 + z + xy - 1 = 0 hat für jede Wahl von (x,y) € R^2 genau eine Lösung z €R. usw.

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Bitte Text auch als  Text eingeben: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Ich habe jetzt mal eine Überschrift gesetzt, die sagt, worum es in a) ungefähr geht.

2 Antworten

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Fang doch an mit f(z) = z5 + z + xy - 1

Dann ist  f ' (z) = 5z4 + 1

immer positiv, also f streng monoton steigend

und wegen der verschiedenen Grenzwerte von f(z)  für z gegen ±∞

und der Stetigkeit von f, gibt es also immer genau eine Nullstelle.

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> Gleichung z5 + z + xy - 1 = 0 hat für jede Wahl von (x,y) € R2 genau eine Lösung z €R

Die Funktion f(z) = z5 + z + xy - 1 ist für jedes (x,y) ∈ℝ2 auf ganz ℝ stetig. Es ist limz→-∞ f(z) = -∞ und limz→∞ f(z) = ∞. Nach dem Zwischenwertsatz hat f also mindestens eine Nullstelle.

Die Funktion f(z) = z5 + z + xy - 1 ist für jedes (x,y) ∈ℝ2 auf ganz ℝ differenzierbar mit f'(z) = 5z4 + 1. Weil die Gleichung 5z4 + 1 = 0 keine Lösung in ℝ hat, hat f keine Extrempunkte. Nach dem Satz von Rolle hat f deshalb höchstens eine Nullstelle.

Also hat f genau eine Nullstelle. Diese Nullstelle ist Lösung der Gleichung z5 + z + xy - 1 = 0.

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