> Gleichung z5 + z + xy - 1 = 0 hat für jede Wahl von (x,y) € R2 genau eine Lösung z €R
Die Funktion f(z) = z5 + z + xy - 1 ist für jedes (x,y) ∈ℝ2 auf ganz ℝ stetig. Es ist limz→-∞ f(z) = -∞ und limz→∞ f(z) = ∞. Nach dem Zwischenwertsatz hat f also mindestens eine Nullstelle.
Die Funktion f(z) = z5 + z + xy - 1 ist für jedes (x,y) ∈ℝ2 auf ganz ℝ differenzierbar mit f'(z) = 5z4 + 1. Weil die Gleichung 5z4 + 1 = 0 keine Lösung in ℝ hat, hat f keine Extrempunkte. Nach dem Satz von Rolle hat f deshalb höchstens eine Nullstelle.
Also hat f genau eine Nullstelle. Diese Nullstelle ist Lösung der Gleichung z5 + z + xy - 1 = 0.