Zeigen: Gleichung z^5 + z + xy - 1 = 0 hat für jede Wahl von (x,y) € R^2 genau eine Lösung z €R. usw.

Question

Kann mir jemand bitte helfen

Wie soll ich an die Aufgabe rangehen?

Zeigen: Gleichung z^5 + z + xy - 1 = 0 hat für jede Wahl von (x,y) € R^2 genau eine Lösung z €R. usw.

Comments

Bitte Text auch als  Text eingeben: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Ich habe jetzt mal eine Überschrift gesetzt, die sagt, worum es in a) ungefähr geht.

Answer 1

Fang doch an mit f(z) = z⁵ + z + xy - 1

Dann ist  f ' (z) = 5z⁴ + 1

immer positiv, also f streng monoton steigend

und wegen der verschiedenen Grenzwerte von f(z)  für z gegen ±∞

und der Stetigkeit von f, gibt es also immer genau eine Nullstelle.

Answer 2

> Gleichung z⁵ + z + xy - 1 = 0 hat für jede Wahl von (x,y) € R² genau eine Lösung z €R

Die Funktion f(z) = z⁵ + z + xy - 1 ist für jedes (x,y) ∈ℝ² auf ganz ℝ stetig. Es ist lim_z→-∞ f(z) = -∞ und lim_z→∞ f(z) = ∞. Nach dem Zwischenwertsatz hat f also mindestens eine Nullstelle.

Die Funktion f(z) = z⁵ + z + xy - 1 ist für jedes (x,y) ∈ℝ² auf ganz ℝ differenzierbar mit f'(z) = 5z⁴ + 1. Weil die Gleichung 5z⁴ + 1 = 0 keine Lösung in ℝ hat, hat f keine Extrempunkte. Nach dem Satz von Rolle hat f deshalb höchstens eine Nullstelle.

Also hat f genau eine Nullstelle. Diese Nullstelle ist Lösung der Gleichung z⁵ + z + xy - 1 = 0.