Parallelogramm beweisen

Question

Aufgabe: Gegeben seien vier Punkte A,B,C,D. Die Mittelpunkte der Strecken seien P,Q,R,S. Zeigen sie: Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm!

Problem/Ansatz:

Wie genau beweise ich dies? Ich weiß, dass PQRS ein Parallelogramm ist, wenn PQ=RS, aber wie zeige ich das nach?

Comments

Sicher, dass das die gesamte Aufgabe ist?

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Ja, dies ist die gesamte Aufgabe. Als Ansatz wurde uns noch die Parallelogrammgleichung \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2) gegeben, aber das war alles.

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Aber ich sehe gar keine "gegebenen Punkte A,B,C,D". Ich denke nicht, dass man das allgemein beweisen kann für jegliche Punkte A, B, C, D - das wäre kurios!

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Es sind vier beliebige Punkte A,B,C,D.

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Hmm, interessant. Vielleicht muss man die Information "Das Viereck [...]" besser interpretieren.

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Google mal nach Satz von Varignon

Answer 1

damit es überhaupt ein Viereck ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:$$|AP|=|PB| \quad |BQ|=|QC| \quad |CR|=|RD| \quad |DS|=|SA|$$ Wenn du nun  \(B\) als Streckzentrum nimmst, so werden A auf P und C auf Q mit dem Streckfaktor \(\frac{1}{2}\) abgebildet. Die Bildgerade und Urgerade sind parallel, deswegen \(AC||PQ\)

Nun kannst du ja mal überlegen, ob man hier schon aufhören kann oder nochmal ein anderes Streckzentrum zu wählen. Und wann hat man bewiesen, dass es ein Paralellogramm ist? Wenn du Fragen hast, frage!

Auflösung: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Varignon

Comments

Es ginge auch einfach mit

\(\overline{SR}\)  ist die Mittenparallele zu ΔACD mit  |\(\overline{SR}\)| = 1/2 * |\(\overline{AC}\)| 

\(\overline{PQ}\)  ist die Mittenparallele zu ΔABC mit  |\(\overline{PQ}\)| = 1/2 * |\(\overline{AC}\)|

  →  PQRS ist ein Parallelogramm