symmetrische Matrizen

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und seien m,n ∈N. Beweisen Sie: Falls B ∈ K^(nxn) eine symmetrische Matrix und A ∈ K^(mxn) eine beliebige Matrix ist, so ist −2A^T A + B eine symmetrische Matrix.

Problem/Ansatz:

Hierzu habe ich ein "allgemeines Beispiel" gefunden, indem ich mir eine allgemeine symmetrische Matrix und eine beliebige Matrix gesucht habe und dieses dann-2A^T A+B eigesetzt. Dies ist allerdings ja kein richtiger Beweis. Meine Idee ist dabei dies mit der Summendarstellung zu beweisen, aber ich weiß nicht weiter. Ich wäre euch um jeden Tipp sehr sehr Dankbar!

Answer 1

Du musst nur zeigen, dass A^T * A symmetrisch ist und von der Größe nxn.

Denn die Multiplikation mit -2 ändert an der Symmetrie nix und

die Summe zweier symmetrischer Matrizen ist wieder symmetrisch.

Und das Produkt A^T * A hat ja an der Stelle i,j den Wert, der

dadurch entsteht, dass man i-te Zeile von A^T mit der j-ten Spalte

von A multipliziert.

An der Stelle j,i steht das Produkt der j-ten Zeile von A^T mit der i-ten Spalte

von A.

Nun wird aber beim Transponieren aus der j-ten Spalte von A gerade die

j-te Zeile von A^T und bei der i-ten entsprechend.

Also steht bei A^T * A an der Stelle i,j der gleiche Wert wie bei j,i.

Und wenn A ∈ K^(mxn) ist, hat A m Zeilen und n Spalten und A^T

also n Zeilen und m Spalten. Also gibt A^T * A eine nxn Matrix.