Halbwertszeit bestimmen

Question

Die Masse m(t) einer radioaktiven Substanz kann durch eine Exponentialfunktion m in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.
Zu Beginn einer Messung sind 100 mg der Substanz vorhanden, nach vier Stunden misst man
noch 75 mg dieser Substanz.

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Halbwertszeit t
H dieser radioaktiven Substanz in Stunden!

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Das ist eine Maturaaufgabe und die Lösung soll 9.64 Stunden sein.

Also ich komme nicht ganz auf das Ergebnis..

Ich habe die Formel:

N(t)=N0*a^t

75=100*a^4   /-100

-25=a^4

Die Wurzel von -25 kann ich ja nicht ziehen, will ja keine komplexe Zahl.

Answer 1

75=100*a⁴  /-100

Dann entsteht die Gleichung

        75 - 100 = 100*a⁴ - 100.

Es gibt keine Regel, nach der du die rechte Seite dieser Gleichung zu a⁴ vereinfachen darfst.

Stattdessen: In der Gleichung

        75=100*a⁴

ist die 100 mittels eines * mit dem a⁴ verknüpft. Ein * kann mittels : rückgängig gemacht werden. Also

        \(\begin{aligned} 75 & =100a^{4} &  & |\,:100\\ \frac{75}{100} & =\frac{100a^{4}}{100} \end{aligned}\)

Die linke Seite kann man jetzt ausrechnen, Ergebnis ist 0,75.

Auf der rechten Seite kann man die 100 wegkürzen und es bleibt a⁴.

Comments

Ich hab das glatt vergessen! Danke für den Hinweis!

Alsoo..

0.75=a^4 / \( \sqrt[4]{} \)

\( \sqrt[4]{0.75} \) =a

0.9306= a

Für die Halbwertszeit müsste ich doch

ln(0.5)/ln(0.9306) und dann kommt 9.637 raus..

Richtig gerechnet?

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\(\begin{aligned} &  & a & =\sqrt[4]{0,75}\\ & \implies & N\left(t\right) & =100\cdot\sqrt[4]{0,75}^{t}\\\\&  & \frac{100}{2} & =100\cdot\sqrt[4]{0,75}^{t}\\ & \implies & \frac{1}{2} & =\sqrt[4]{0,75}^{t}\\ & \implies & \ln\frac{1}{2} & =\ln\left(\sqrt[4]{0,75}^{t}\right)\\ & \implies & \ln\frac{1}{2} & =t\cdot\ln\sqrt[4]{0,75}\\ & \implies & \frac{\ln\frac{1}{2}}{\ln\sqrt[4]{0,75}} & =t\\ & \implies & 9,638 & \approx t \end{aligned}\)

Ja, stimmt bis auf Fehler bei der Rundung.

Answer 2

100 * 0.5^(4/x) = 75 --> x = 9.638 h

Die Halbwertszeit beträgt 9.638 Stunden.