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Guten Tag, ich stolper über folgende Aufgaben und bitte um mögliche Erklärungen/anschauliche Lösungswege, würde mich sehr auf Antworten freuen. MfG

a) eine radioaktive Substanz zerfällt nach dem Zerfallsgesetz n(t) = n0 e-λt für t ≥ 0 (mit n0:= n(0) und λ > 0), wobei hier n(t) die Anzahl der Atomkerne zur Zeit t bezeichnet.

(1) Für das Element Radon (222 86) Rn besitzt die Zerfallskonstante λ den Wert λ = 2.0974 x 10-6 s-1. Berechnen sie die zugehörige Halbwertszeit.

(2) Ein radioaktives Isotop hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Wie lange dauert es in diesem Fall, bis nur noch 0,1% der ursprünglichen Anzahl von Atomkernen vorhanden ist?


b) Für einen Abkühlungsprozess gilt in vielen Fällen das Newtonsche Abkühlungsgesetz:

T(t) = (T0 - TL) e-kt + TL für t ≥ 0.

Hierbei ist T0 = T(0) die Anfangstemperatur, TL die Umgebungstemperatur und k eine positive Konstante, die z.b den Einfluss eines Gefäßes auf den Abkühlungsprozess beschreibt.
Angenommen sie wollen einen Tee trinken, der eine Anfangstemperatur von 90 Grad hat. Die Zimmertemperatur beträgt 21 Grad. Um sich nicht die Zunge zu verbrennen möchten sie warten bis der Tee auf 60 Grad abgekühlt ist. Wie lange müssen sie (nach diesem Modell) hierfür warten, wenn nach t=5 die Temperatur des Tees 75 Grad beträgt?

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a) e^(-k*t) = 0,5

e^(-2,0974*10^-6)*t = 0,5

-2,0974*10^-6*t = ln0,5

t = 330479 s = 3,82 Tage

2)  q^8 =0,5

q= 0,917

q^t = 0,001

t= ln0,001/lnq = 79,73 Tage

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Danke für die Hilfe. Wofür steht q?

q= Zerfallsfaktor

a) ist richtig.

b) Meinst du, man soll 79 Tage warten bis der Tee nur noch eine Temperatur von 60 Grad hat?

Ich komme da auf 11.64 Minuten.

@Der_Mathecoach die 79 Tage beziehen sich auf die Aufgabe b) mit den Atomkernen und nicht die 2), der gute hat sich da wohl vertippt gehabt. Wie kamen sie denn auf dieses Ergebnis für die 2) wenn ich fragen darf?

Ah. Da hab ich etwas übersehen. Die beiden Antworten sind richtig.

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Angenommen sie wollen einen Tee trinken, der eine Anfangstemperatur von 90 Grad hat. Die Zimmertemperatur beträgt 21 Grad. Um sich nicht die Zunge zu verbrennen möchten sie warten bis der Tee auf 60 Grad abgekühlt ist. Wie lange müssen sie (nach diesem Modell) hierfür warten, wenn nach t=5 die Temperatur des Tees 75 Grad beträgt?

T(t) = (T0 - TL)·e^(- k·t) + TL

T(5) = (90 - 21)·e^(- k·5) + 21 = 75 --> k = 0.04902

T(t) = (90 - 21)·e^(- 0.04902·t) + 21 = 60 --> t = 11.64 Tage

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