Orthogonale Matrix finden

Question

ich soll zu der Matrix A:$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 &1\end{pmatrix}$$

eine orthogonale Matrix C finden, so dass $$C^{T}*A*C$$ eine Diagonalmatrix ist.

Ich habe zuerst die Eigenwerte ausgerechnet, die 3 (doppelt) und -3 sind. Als nächstes habe ich die Eigenvektoren berechnet und kam auf : $$\begin{pmatrix} x2+x3\\x2\\x3 \end{pmatrix} für 3 und \begin{pmatrix} x1\\-x1\\-x1 \end{pmatrix} für -3$$

x1, x2 und x3 sind ja jeweils frei wählbar also hab ich für alles erstmal 1 gewählt :

$$\begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix}*k und \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1 \end{pmatrix}*k$$ wobei k=/=0 gelten muss.

Diese noch normieren dann folgt $$\begin{pmatrix} 2/sqrt(6)\\1/sqrt(6)\\1/sqrt(6) \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1/sqrt(3)\\-1/sqrt(3)\\-1/sqrt(3) \end{pmatrix}$$ Also haben wir die C und C^T : $$C=\begin{pmatrix} 2/sqrt(6)&2/sqrt(6)&1/sqrt(3) \\ 1/sqrt(6)&1/sqrt(6)&-1/sqrt(3) \\ 1/sqrt(6)&1/sqrt(6)&-1/sqrt(3)\end{pmatrix} C^{T}=\begin{pmatrix} 2/sqrt(6)&1/sqrt(6)&1/sqrt(6) \\ 2/sqrt(6)&2/sqrt(6)&1/sqrt(6) \\ 1/sqrt(6)&-1/sqrt(3)&-1/sqrt(3)\end{pmatrix}$$

Mein Problem ist, dass ich bei der Berechnung C^T*A*T nicht auf eine Diagonalisierte Matrix komme, so wie es eigentlich der Fall sein sollte, weshalb ich einen Rechenfehler meinerseits vermute aber keinen finde. Kann mir vielleicht jemand helfen ?

LG Alex

Answer 1

Bei der 3 gibt es zwei lin. unabh. Eigenvektoren etwa

1
1
0

und dazu orthogonal 
-1
1
-2

zusammen mit deinem dritten und der Normierung gibt das die Matrix  C =

1/√2     -1/√6      1/√3 
1/√2      1/√6     -1/√3
0          -2/√6     -1/√3

Comments

Die Eigenvektoren zum doppelten Eigenwert 3 müssen zueinander orthogonal gewählt werden.

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Ach ja, ich hatte eine einfache Transformationsmatrix gemacht.

Ich versuche es mal zu korrigieren.

Answer 2

Um das Thema rund abzuschließen - EW bekannt -3,3,3...

Als Eigenvektoren finde ich z,B.

\(\small EVi \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&1&1\\1&1&0\\1&0&1\\\end{array}\right)\)

Die erste Spalte/erster EV ist orthogonal zu den anderen Spalten, beiden EVs zum EW 3. Es müssen die beiden zum EW 3 gehörenden EV orthogonalisiert werden.

OEV: ({1, 1, 0} + r {1, 0, 1}) {1, 1, 0} = 0

===> r = -2 ===> {1, 1, 0} -2 {1, 0, 1} = {(-1), 1, (-2)}

\(\small EVo:=\left(\begin{array}{rrr}-1&1&-1\\1&1&1\\1&0&-2\\\end{array}\right)\)

Dividiere Spalten durch die Spaltenbeträge (sqrt(Sum(EVo(i)²)))

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\\end{array}\right) \)

Kontrolle

\(\small T^T A \; T = D \; =  \, \left(\begin{array}{rrr}-3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\\\end{array}\right) \)