Bestimme eine orthogonale Matrix, so dass gilt... Was ist transformierte quadratische Form?

Question

Bei b) komme ich nicht mehr weiter, wie verfahre ich dort? Was versteht man unter transformierte quadratische Form ?

EDIT(Kopie aus Kommentar): 

Sei A: \begin{pmatrix}  3 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}

(b) Man bestimme eine orthogonale Matrix \(U\in \mathbb{R_\perp^{2,2}}\), so das gilt  \(\vec{y} =U \vec{x} \) für die transformierte quadratische Form\(P(\vec{y})\) gilt:
\(P(\vec{y})= Q(U\vec{y})=p_1 y_1^2+p_2 y_2^2 \)    mit      \(p_1 \leq p_2 \)


Lösung:
\(U=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}  2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \)

Comments

Ein klärendes Bild als Ergänzung zu deinem Text ist nicht verboten (bzw. erwünscht). 

Passt https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#Hauptachsentransformation_in_beliebiger_Dimension zu deinem Thema? 

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"ich weiß leider nicht wie ich es so reinschreibe, dass es wie im Bild ausschaut"

Hierbei hilft unter anderem: https://www.matheretter.de/rechner/latex

Da Du vermutlich im MINT-Bereich unterwegs bist, lasse Dir gesagt sein, dass  man eigentlich nie früh genug mit "TeX" anfangen kann. Glaube mir, in späteren Semestern wirst Du dankbar sein, wenn Du Dich damit schon auskennst ;-) 

@All 

Ich wurde auf der Stacklounge (unserem Informatik-Portal, www.stacklounge.de) gefragt, ob ich einen Wissensartikel für Umgang mit TeX schreiben könnte. Ich denke, dass so etwas (mit dem Fokus auf die Eingabe mathematischer Formeln) auch hier sinnvoll sein könnte. Was meint ihr?

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Wenn es dann offiziell eine Stacklounge gibt, würde ich den Wissensartikel zu TeX in der Stacklounge suchen. 

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"Wenn es dann offiziell eine Stacklounge gibt, würde ich den Wissensartikel zu TeX in der Stacklounge suchen."

So können wir es halten. Dann werde ich aber zwei verschiedene schreiben, da der auf der Stacklounge seinen Fokus erstmal auf dem allgemeinen Umgang (Dokumenterzeugung, Einbindung von Grafiken, Tabellen, Literatur- und Inhaltsverzeichnis, ...) hat. Beide werden dann aber auf der Stacklounge zu finden sein.

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Sei A: \begin{pmatrix}  3 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}

(b) Man bestimme eine orthogonale Matrix \(U\in \mathbb{R_\perp^{2,2}}\), so das gilt  \(\vec{y} =U \vec{x} \) für die transformierte quadratische Form\(P(\vec{y})\) gilt: 

\(P(\vec{y})= Q(U\vec{y})=p_1 y_1^2+p_2 y_2^2 \)    mit       \(p_1 \leq p_2 \)


Lösung: 
\(U=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}  2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \)

so habe es versucht.

Answer 1

  Das Ganze guckt mich ehrlich gesagt ein bisschen komisch an. Weil alle sind sich einig, dass quadratische Formen ( QF ) nur für ===> Hermitesche Matrizen definiert sind. Wenn du eine reelle Matrix zerlegst in ihren symmetrischen und ihren antimetrischen Anteil, dann stellst du nämlich fest, dass die von der antimetrischen  Komponente induzierte QF identisch verschwindet. Und Hermitesche Matrizen bieten nun mal den Vorteil, dass man sie diagonalisieren kann.

    H  =  1/2   [  A  +   (A+)  ]  =   3       2

                                                   2       6             (  1  )

     aber es ist nett das du anfragst. Weil wie man die Eigenwerte findet. Das steht in den Büchern maximal kompliziert erklärt; ja da gibt es sogar neueste erkenntnisse, von denen haben noch nicht mal eure Profs gehört. Fangen wir also an mit der Säkulardeterminante ( SD ) von H ; da sie sicher quadratisch ist, mache ich den Ansatz

            p  (  H  )  =  x  ²  -  p  x  +  q       (  2a  )

     Bloß was ist p und q? Vieta das geschmähte Stiefkind

        p  =  E1  +  E2  =  Sp  (  H  )  =  3  +  6  =  9      (  2b  )

        q  =  E1  E2  =  det  (  H  )  =  3  *  6 -  2  *  2  =  14     (  2c  )

      p  (  H  )  =  x  ²  -  9  x  +  14    (  2d  )

     Schon jetzt sei angemerkt: Mit positiver Determinante ist die QF definit; die Spur ist positiv ===> positive Eigenwerte.

   Wie löst man nun ( 2d ) ? Genau das ist der Knüller; aus dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ergibt sich, da ( 2d ) ein normiertes Polynom ist, dass seine Wurzeln notwendig ganzzahlig sein müssen.  q = 14 hat aber nur zwei mögliche Zerlegungen; die triviale so wie die nicht triviale.

         E1  =  1  ;  E2  =  14  ;  p  =  15       (  3a  )

       E1  =  2  ;  E2  =  7  ;  p  =  9        (  3b  )      ;  ok

    Jetzt das LGS für die Eigenvektoren

         3  x  +  2  y  =  2  x  ===>  x  =  -  2  y    (  4a  )

         2  x  +  6  y  =  2  y    |   :  2    (  4b  )

         x  +  3  y  =  y  ===>  Ditto     (  5b  )

    Bitte; die eigenwerte in deinem c stimmen doch; und dein U enthält auch die Komponenten ( 4a ) Beachten musst du bei einer unitären Matrix natürlich immer die Normierung; und das ist dein sqr ( 5 )  Es fällt auch wirklich nicht schwer heraus zu finden, welcher Vektor senkrecht auf ( 4a ) steht.

   Wenn du mit diesen Begriffen Hermitesch, diagonalisierung und Unitär so gar nichts anfangen kannst - da gibt es die schlauen AGULA Lehrbücher von Kowalsky bzw. Greub - in Band 2 steht das alles drin. Wenn du aber besondere fragen hast, bin ich immer gerne bereit.