Polynomfunktion dritten Grades hat Wendetangente tw: 3x-4y=5

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 3.Grades besitzt an der Stelle

X=1 eine Nullstellen und

 im Punkt W(3/1) einen Wendepunkt

Mit der Wendetangente tw: 3x-4y=5

Problem/Ansatz:

Berechnen diese Funktion

Leider habe ich das Thema wendepunkt und Wendetangente nicht ganz verstanden, daher wäre ich für die ausführliche Antwort sehr dankbar

Answer 1

Eine Polynomfunktion 3.Grades:

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f´´(x) = 6ax + 2b

besitzt an der Stelle x=1 eine Nullstelle:

f(1) = a + b + c + d = 0

im Punkt W(3/1) einen Wendepunkt:

f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 1

f´´(3) = 18a + 2b = 0

...mit der Wendetangente tw: 3x-4y=5:

y = 3/4x - 5/4

Die Tangente hat die Steigung m = 0.75, also

f´(3) = 27a + 6b + c = 0.75

Das kannst du jetzt als LGS aufschreiben und zB mit dem Gauß-Algorithmus lösen.

zur Kontrolle:

f(x) = -0,0625·x^3 + 0,5625·x^2 - 0,9375·x + 0,4375

Comments

Vielen Dank für die Antwort, ich würde gerne wissen, aber wie haben Sie die Endfunktion am Ende gefunden?

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Die vier Gleichungen kann man als LGS mit dem Gaußalgorithmus lösen

a     +   b +   c + d  = 0

27a + 9b + 3c + d  = 1

18a + 2b                = 0

27a + 6b +  c         = 0.75

Falls ihr Lösungsverfahren für solche Gleichungen noch nicht behandelt habt, darfst du doch sicher deinen TR verwenden.

Answer 2

Vom Wendepunkt brauchst du die Tatsache, dass es ein Punkt der Kurve ist und dass an der Stelle x=3 die erste Ableitung 3/4 ist. Also alles wie bei einer ganz normalen Steckbriefaufgabe. Das Problem ist aber, dass man 4 Bedingungen braucht und in deinem Text nur 3 zu finden sind.

Comments

habe ich etwas übersehen? Denn ich habe 4 Bedingungen gefunden.

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Stimmt: An der Stelle x=3 ist die zweite Ableitung Null. Also ganz normale Steckbriefaufgabe.

Answer 3

Vielen Dank für die Antwort, ich würde gerne wissen, aber wie haben Sie die Endfunktion am Ende gefunden?

Es handelt sich um die Lösung eines linearen
Gleichungssystems mit 4 Gleichungen und 4
Unbekannten.

Allgemein ( für 2 Unbekannte )

4 * a + 5 * b = 12
3 * a + 7 * b = 21

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

4 * a + 5 * b = 12  | * 3
3 * a + 7 * b = 21 | * 4

12a + 15b = 36
12a + 28b = 84  | abziehen
-------------------
43b = - 120
b = -120 / 43

In eine Ausgangsgleichung einsetzen und a berechnen.

Ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten / 4 Gleichungen
wird  durch das Verfahren in eine Gleichungssstem
mit 3 Unbekannten / 3 Gleichungen, dann
2 Unbekannten / 2 Gleichungen und zum Schluß
1 Unbekannte / 1 Gleichung umgewandelt und gelöst.

Bei Bedarf kann ich das einmal vorführen.

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

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Fehler Korrektur
12a + 15b = 36
12a + 28b = 84  | abziehen
-------------------

15b - 28 b = 36 - 84
- 13b = - 48