Lange habe ich hin und her überlegt; es geht ja darum, die Anzahl der Unbekannten zu minimieren. Meinen ursprünglichen Ansatz habe ich verworfen; da waren immer noch 3 Unbekannte drin.
Keine Schulaufgabe ist so kompliziert, dass du mehr als 2 Unbekannte benötigst.
Ja es gibt einen Trick; die ===> Taylorentwicklung deines Polynoms. Wir entwickeln um W1
f ( h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + ( h ³ / 3 ! ) f(³) ( x0 ) + a4 h ^ 4 ( 1a )
x0 := ( - 2 ) ; h := x - x0 = x + 2 ( 1b )
Funktionswert und die ersten beiden Ableitungen haben wir; natürlich ist der Koeffizient a4 unbekannt. Die 3. Ableitung haben wir allerdings auch nicht; das gibt dann unsere Unbekannte b3. Setzen wir jetzt W1 ein in ( 1a )
f ( h ) = - 5/4 + 2 h + b3 h ³ + a4 h ^ 4 ( 1c )
Anmerkung ( um dich nicht zu verwirren ) Koeffizienten der Entwicklung um W1 bezeichne ich mit b wie b3 und Koeffizienten der Entwicklung um den Ursprung mit a wie a4 ( Es gilt a4 = b4 ; Leitkoeffizient ! )
Nur noch zwei Bedingungen, zwei Gleichungen sind offen. Beide betreffen den Punkt W2 , für den wir allerdings einsetzen müssen h = 2
f ( 2 ) = - 5/4 + 4 + 8 b3 + 16 a4 = 3/4 ( 2a )
4 b3 + 8 a4 = ( - 1 ) ( 2b )
Jetzt müssen wir die beiden Ableitungen von ( 1c ) bilden
f ' ( h ) = 2 + 3 b3 h ² + 4 a4 h ³ ( 3a )
1/2 f " ( h ) = 3 ( b3 h + 2 a4 h ² ) ( 3b )
Für W2 haben wir noch die WP Bedingung
f " ( 2 ) = b3 + 4 a4 = 0 ( 3c )
Das LGS ( 2b;3c ) hat die Lösung
b3 = ( - 1/2 ) ; a4 = 1/8 ( 4a )
f ( h ) = - 5/4 + 2 h - 1/2 h ³ + 1/8 h ^ 4 ( 4b )
Jetzt harrt unser die Rücktransformation der Reihe nach W2 = Ursprung ( Hornerschema im Kopf oder auf dem TR )
a0 = f ( W1 ) = 3/4 ( 5a ) ( a.d. Aufgabenstellung bekannt )
f ' ( h ) = 2 - 3/2 h ² + 1/2 h ³ ===> a1 = f ' ( W1 ) = 0 ( 5b )
An dieser Stelle möchte ich mal auf deine Anfrage bezüglich der Symmetrie eingehen; ein gerades Polynom kann wenn überhaupt nur Achsensymmetrie aufweisen ( Vorsicht ! Wo steht, dass diese Symmetrieachse bei x = 0 verläuft; dass hier gerade und ungerade Exponenten gemischt sind, ist zu Mindest kein NOTWENDIGES Kriterium. )
Aus ( 5b ) folgt, dass W2 ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) ist; mit einem " normalen " WP und einem TP sind wohl keine Chancen mehr auf eine wie auch immer geartete Symmetrie.
1/2 f " ( h ) = - 3/2 h + 3/4 h ² ====> a2 = 0 ( 6a ) ( siehe Aufgabenstellung )
1/3 ! f(³) ( h ) = 1/2 ( h - 1 ) ===> a3 = 1/2 ( 6b )
f ( x ) = 1/8 x ^ 4 + 1/2 x ³ + 3/4 ( 7 )
Alle Ergebnisse Wolfram geprüft
