Steckbriefaufgabe: Der Punkt mit der Abszisse 0 ist Wendepunkt, die Wendetangente hat die Gleichung x-3y+6=0.

Question

Bese ein Polynom dritten Grades mit einer Nustelle bei x=-2 . Der Punkt mit der Abszisse 0 ist Wendepunkt, die Wendetangente hat die Gleichung x-3y+6=0. Ich habe eine Bedingung f(-2)=0 doch ich weiss die anderen drei nicht.

Answer 1

Best. ein Polynom dritten Grades mit einer Nustelle bei x=-2 . Der Punkt mit der Abszisse 0 ist Wendepunkt, die Wendetangente hat die Gleichung x-3y+6=0. 

Ich habe eine Bedingung f(-2)=0 

doch ich weiss die anderen drei nicht.

Hier die fehlenden Bedingungen:

Der Punkt mit der Abszisse 0 ist Wendepunkt, 

f ' ' (0) = 0.

die Wendetangente hat die Gleichung x-3y+6=0.

umformen x+6 = 3y

y = 1/3 x + 2

Geht durch W(0|2) mit Steigung m = 1/3.

f(0) = 2

f ' (0) = 1/3

Ohne Gewähr: Bitte sorgfältig nachvollziehen, Korrekturen melden und dann das Gleichungssystem selbst auflösen.

Comments

wäre es nicht eher 3y= x+6 und dann y= 1/3x + 2 ?

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Sollte jetzt korrigiert sein. Du verstehst offenbar, was ich mache. Gut! :)

Answer 2

Bestimme ein Polynom dritten Grades mit einer Nullstelle bei \(x=-2\) . Der Punkt mit der Abszisse 0 ist Wendepunkt, die Wendetangente hat die Gleichung \(x-3y+6=0\)

Bestimmung des Wendepunktes:

\(x-3y+6=0\) mit  \(x=0\)  →    \(0-3y+6=0\)  →\(y=2\)      \(W(0|2)\)

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

\(W(0|2)\)

\(f(0)=d\)

1.)   \(d=2\):

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+2\)

Nullstelle bei \(x=-2\):

\(f(-2)=-8a+4b-2c+2\)

2.)

\(-8a+4b-2c+2=0\) →  \(-4a+2b-c+1=0\)      \(c=-4a+2b+1\):

\(f(x)=ax^3+bx^2+(-4a+2b+1)x+2\)

Steigung der Wendetangente ist \(m= \frac{1}{3} \)

\(f'(x)=3ax^2+2bx-4a+2b+1\)

\(f'(0)=-4a+2b+1\)

3.)

\(-4a+2b+1=\frac{1}{3}\)  → \(-4a+2b=-\frac{2}{3}\)    → \(b=2a-\frac{1}{3}\) :

\(f'(x)=3ax^2+2\cdot(2a-\frac{1}{3})x-4a+2b+1\)

Wendepunkteigenschaft:

\(f''(x)=6ax+2\cdot(2a-\frac{1}{3})\)

\(f''(0)=2\cdot(2a-\frac{1}{3})\)

4.)

\(2\cdot(2a-\frac{1}{3})=0\)

\(a=\frac{1}{6}\) und   \(b=2a-\frac{1}{3}\) : \(b=0\)  

und \(c=-4a+2b+1\)→       \(c=\frac{1}{3}\)     und \(d=2\)

\(f(x)=\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{3}x+2\)

Comments

Ich hätte zunächst die Gleichung der Wendetangente als Funktion geschrieben

x - 3y + 6 = 0 --> t(x) = 1/3·x + 2

Dann hätte ich die Bedingungen in mathematischer Kurzform notiert, die gelten müssen.

f(0) = t(0) = 2
f'(0) = t'(0) = 1/3
f''(0) = 0
f(-2) = 0

Daraus entwickelt man dann folgendes Gleichungssystem

d = 2
c = 1/3
2·b = 0
-8·a + 4·b - 2·c + d = 0

Letztlich hat man noch eine Gleichung mit einer Unbekannten und damit komme ich auf die Gleichung, die du heraus hast.

f(x) = 1/6·x^3 + 1/3·x + 2

Ich denke so wäre es evtl. zum Nachvollziehen einfacher. Du machst das oben mit dem Einsetzungsverfahren viel zu kompliziert.

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Ich wollte mal den Weg ausprobieren, wenn man gleich den gefundenen Wert einsetzt.

Answer 3

Rekonstruktion des möglichen Aufgabentextes:

Bestimme ein Polynom dritten Grades mit einer Nullstelle bei x=-2. Der Punkt mit der Abszisse 0 ist Wendepunkt, die Wendetangente hat die Gleichung x-3y+6=0.

Die Wendestelle ist also \(x=0\).

Die Gleichung der Wendetangente lässt sich umformen zu $$y=\green{\dfrac{1}{3}\cdot x +2}.$$Ein möglicher Ansatz unter Berücksichtigung der Symmetrie zum Wendepunkt ist daher $$p(x)=ax^3\red{+0\cdot x^2}\green{+\dfrac{1}{3}\cdot x +2}.$$Aus der noch verbleibenden Bedingung \(p(-2)=0\) folgt \(a=\dfrac{1}{6}\) und das gesuchte Polynom $$p(x)=\dfrac{1}{6}\cdot x^3+\dfrac{1}{3}\cdot x +2$$ ist gefunden.

(Hm... da wurden ja gar keine Ableitungen oder so benötigt...)

Comments

Dabei habe ich verwendet, dass in Gleichungen von Polynomfunktionen wie $$p(x)=ax^3+bx^2+\green{cx+d}$$die Gleichung $$y=\green{cx+d}$$den Graphen der Tangente an den Graphen von \(p\) an der Stelle \(x=0\) beschreibt.