Steckbriefaufgabe Wendepunkt

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie ein Polynom kleinsten Grades, dessen Graph in O(0/0) und im Wendepunkt W(-2/2) Tangenten parallel zur x-Achse hat.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e

^Bedingungen: 

^{1) f(0)=0 , f(-2)=2 , f´(0)=0 , f´(-2)=0 , f´´(-2)=0}

Da die Wendestelle ja nur eine waagr. Tangente haben kann, wenn sie eine Sattelstelle ist, habe ich dort die Bedingungen Ableitung null und zweite Ableitung null. Ist das korrekt? Bzw. stimmt mein Ansatz und meine Bedingungen?

Lg Matheass123

Answer 1

Ich würde sagen das sieht gut aus. Damit kannst du starten.

Du kannst deine Rechnung kontrollieren mit dem Steckbriefaufgabentool auf der Seite  www.arndt-bruenner.de

Answer 2

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(0)=0
f'(0)=0
f(-2)=2
f'(-2)=0
f''(-2)=0

Gleichungen

e = 0
d = 0
16a - 8b + 4c - 2d + e = 2
-32a + 12b - 4c + d = 0
48a - 12b + 2c = 0

Funktion

f(x) = 0,375·x^4 + 2·x^3 + 3·x^2
f'(x) = 1,5·x^3 + 6·x^2 + 6·x
f''(x) = 4,5·x² + 12·x + 6

Skizze

~plot~ 0,375x^4+2x^3+3x^2 ~plot~

Answer 3

Wieso muß f ´ ( 0 ) = 0 sein?

Ansonsten würde gelten
f (0 ) = 0
f ( -2 ) = 2
f ' ( -2 ) = 0
f '' ( -2 ) = 0

f(x) = -0,25·x^3 - 1,5·x^2 - 3·x

Comments

Da ich eine Tangente parallel zur x-Achse habe im Ursprung.

Das heißt ja ich habe dort einen Berührpunkt anstatt einen Schnittpunkt.

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Wieso muß f ´ ( 0 ) = 0 sein?

Bestimmen sie ein Polynom kleinsten Grades, dessen Graph in O(0/0) und im Wendepunkt W(-2/2) Tangenten parallel zur x-Achse hat.

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Hatte ich doch glatt übersehen.

Answer 4

Bestimmen sie ein Polynom kleinsten Grades, dessen Graph in \(O(0|0)\) und im Wendepunkt \(W(-2|2)\) Tangenten parallel zur x-Achse hat.

Da der Graph der Funktion im Wendepunkt \(W(-2|2)\) eine Tangente parallel zur x-Achse hat, verschiebe ich den Graph um \(2\) Einheiten nach unten: \(W´(-2|0)\) Hier ist nun eine Dreifachnullstelle:

Kleinster Grad ist 4

\(f(x)=a(x+2)^3(x-N)\)

\(f'(x)=a[3(x+2)^2(x-N)+(x+2)^3\)

Extremwerteigenschaft: \(O(0|...)\)

\(f'(0)=a[3(0+2)^2(0-N)+(0+2)^3]=a[-12N+8]=0\)

\(N=\frac{2}{3}\):

\(f(x)=a(x+2)^3(x-\frac{2}{3})\)

\(O(0|0)\)→\(O´(0|-2)\):

\(f(0)=a(0+2)^3(0-\frac{2}{3})=-2\)

\(a=\frac{3}{8}\):

\(f(x)=\frac{3}{8}(x+2)^3(x-\frac{2}{3})\)

Nun \(2\) Einheiten nach oben:

\(p(x)=\frac{3}{8}(x+2)^3(x-\frac{2}{3})+2\)