Polynomfunktion 3. Grades gesucht. Nullstellen N1(-2/0) , N2(1/0), Wendepunkt W(-1/-2)

Question

Aufgabe:

Von einer Polynomfunktion 3. Grades sind:

Nullstellen N1(-2/0) , N2(1/0)

Wendepunkt W(-1/-2)

Problem/Ansatz:

Wie kann man diese Funktion berechnen ?

 ich wäre für die ausführliche Antwort sehr dankbar

Comments

Nullstellen nennt man hier x1 = -2 und x2 = 1. "Stelle" bezieht sich nur auf den x-Wert.

Die dazugehörigen Punkte N1(-2/0) , N2( 1/0) sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Woher stammt die Aufgabe? Hast du selbst übersetzt?

Answer 1

Von einer Polynomfunktion 3 Grades sind:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

f´(x) = 3ax2 + 2bx + c

f´´(x) = 6ax + 2b

Null stellen N1(-2/0) , N2( 1/0):

f(-2) = -8a + 4b -2c + d = 0

f(1) = a + b + c + d = 0

Wendepunkt W(-1/-2):

f(-1) = -a + b -c + d = -2

f´´(-1) = -6a + 2b = 0

Das kannst du jetzt als LGS aufschreiben und zB mit dem Gauß-Algorithmus lösen.

zur Kontrolle: f(x) = x^3 + 3·x^2 - 4

Comments

Entschuldigung für die blöde Frage, aber wenn es nicht schwierig für Sie ist, wie solltet man diese Aufgabe fortsetzen?

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I.   -6a + 2b              = 0

II.  -a + b -c + d         = -2  I 6*II. - I.

III.  a + b + c + d        = 0  I 6*III + II.

IV.  -8a + 4b -2c + d  = 0  I 8*III. + IV.

I.  -6a + 2b                = 0

II.          4b - 6c + 6d =  -12

III.         8b + 6c + 6d = 0     I 2* II. - III.

IV.         12b + 6c + 9d = 0   I IV. - 3 * II.

I. -6a + 2b                 = 0

II.          4b - 6c + 6d = -12

III.               - 18c + 6d = - 24

IV.                24c - 9d = 36    I 24* III. + 18*IV.

I. -6a + 2b                = 0

II.          4b - 6c + 6d = -12

III.              - 18c + 6d = - 24

IV                            -18d = 72

Jetzt haben wir das LGS in die Stufenform gebracht und können die Variablen bei IV. anfangend bestimmen.

IV.  - 18d = 72

       d = - 4

III.  - 18c + 6d = -24

        - 18c + 6*(-4) = -24

           c = 0

II.   4b - 6c + 6d  = - 12

       4b - 6*0 + 6 *(-4) = - 12

            b = 3

I.    -6a + 2 * 3 = 0

        a = 1

Daraus folgt dann die Funktionsgleichung:

f(x) = x3 + 3·x2 - 4

War eine etwas umfangreiche Aufgabe, hoffe da sind keine Fehler

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ich wollte wissen, ob es eine Ordnung , wie man rechnet?  Zum Beispiel: zuerst 1 + 2 oder 3 + 1

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Ich weiß zwar nicht ganz genau was du meinst, aber das Ziel ist, das LGS in Stufenform zu bringen, was du nach der letzten Umformung bei mir sehen kannst.

Vielleicht schaust du dir dazu mal ein Video an.

Answer 2

y=ax^3+bx^2+cx+d

1. die 2 Nullstellen einsetzen,

2. den Punkt W einsetzen

3. f'' bilden und  bei x=-1 0 setzen

damit hast du 4 einfache Gleichungen für a,b,c,d

Gruß lul

Answer 3

Es kann nicht sein, dass der Wendepunkt bei  W(-1/-2) liegt und die Nullstellen N₁(-2/0) , N₂( 1/0) sind:

Aber es kann doch sein:

Answer 4

\(f(x)=a[(x+2)(x-1)(x-N)]\)

W\((-1|-2)\):

\(f(-1)\\=a[(-1+2)(-1-1)(-1-N)]=-2a[(-1-N)]=-2\)

\(a[(-1-N)]=1\)

\(a=\frac{1}{-1-N}=-\frac{1}{1+N}\):

\(f(x)=-\frac{1}{1+N}[(x+2)(x-1)(x-N)]\)

\(f'(x)\\=-\frac{1}{1+N}[(x-1)(x-N)+(x+2)(x-N)+(x+2)(x-1)]\)

\(f''(x)\\=-\frac{1}{1+N}[(x-N)+(x-1)+(x-N)+(x+2)+(x-1)+(x+2)]\)

W\((-1|...)\):

\(f''(-1)\\=-\frac{1}{1+N}[(-1-N)+(-1-1)+(-1-N)+(-1+2)+(-1-1)+(-1+2)]\)

\(f''(-1)=-\frac{1}{1+N}[(-4-2N)]\)

\(-\frac{1}{1+N}[(-4-2N)]=0\)

\(N=-2\)    \(a=1\):  :   

\(f(x)=(x+2)(x-1)(x+2)=(x+2)^2(x-1)\)