Durch Körperaxiome Aussagen beweisen?

Question

Es sei \(\mathbb{K}\) ein Körper und \(x,y\in \mathbb{K}\) Zeigen Sie:

Hier mein Vorschlag für die verschiedenen Aufgaben. Ist das formal so korrekt? Ich finde es gar nicht leicht, solche internalisierten Rechenregeln zu beweisen.

Rechnung:

(i)

Zu beweisen: x·0=0

x·0=x·0+x·0-x·0  | Existenz inverser Elemente bzgl. Addition

x(0+0)-x·0=0  | Distributivgesetz und Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition

x·0-x·0=0    q. e. d.

(ii)

Zu beweisen: -x=(-1)·x

x·0=-x+x    | Existenz inverser Elemente bzgl. Addition

x·0=x(-1+1)   | Distributivgesetz

x·0=-1·x+1·x   | Existenz des neutralen Elements bzgl. Multiplikation

x·0=-1·x+x   |  x·0=0, vgl. (i)

0=-1·x+x   | Existenz inverser Elemente bzgl. Addition

-x=-1·x   q. e. d.

(iii)

Zu beweisen: x·y=0  ⇔  (x=0)∨(y=0)

Fall 1: x≠0 ∧ y=0

x·0=0  (vgl. (i)) q. e. d.

Fall 2: x=0 ∧ y≠0

0·y=0    | Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation

y·0=0 (vgl. (i)) q. e. d.

Answer 1

x·0=x·0+x·0-x·0 

Es wäre gut, wenn du dich auf die Rechenarten beschränken würdest, die in den Körperaxiomen vorkommen. Das ist + und ·, nicht - und :, zumindst so langes um Beweise von internalisierten Regeln geht.

Außerdem solltest mehr Klammern verwenden: x·0+(x·0-x·0). Sonst entsteht der Eindruck als könnte man auf das Assoziativgesetz verzichten.

x·0-x·0=0    q. e. d

Damit ist x·0 = 0 noch nicht bewiesen.

x·0=-x+x    | Existenz inverser Elemente bzgl. Addition

Nicht nur dass, sondern auch obiges x·0 = 0.

x·0=x(-1+1)  | Distributivgesetz

Genauer gesagt hast du hier

        -x + x

umgeformt zu

        -1·x + 1·x

und dann das x mittels Distributivgesetz ausgeklammert.

Du darfst aber nicht zu -1·x + 1·x  umformen, weil -x = -1·x ja genau das ist, was du beweisen sollst.

Zu beweisen: x·y=0  ⇔  (x=0)∨(y=0)

Fall 3 fehlt: x≠0 ∧ y≠0.

Comments

Damit ist x·0 = 0 nocht nicht bewiesen.

Wieso nicht?

Du darfst aber nicht zu -1·x + 1·x  umformen, weil -x = -1·x ja genau das ist, was du beweisen sollst.

Stimmt, da hast du recht, werde ich mir neu überlegen.

Fall 3 fehlt: x≠0 ∧ y≠0.

Stimmt: "Entweder/Oder, oder beides". Aber das lässt sich ja eher nicht beweisen, ist dann die gesamte Aussage falsch?

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x·0-x·0 = 0 hast du schon direkt in der ersten Zeile mit der Begründung verwendet, dass x·0-x·0 = 0 ist (du hast es damals nur "Existenz inverser Elemente bzgl. Addition" genannt).

Stimmt: "Entweder/Oder, oder beides"

Nicht so ganz. Du hast bis jetzt

        (x=0)∨(y=0) ⇒ x·y=0

gezeigt. Du musst auch noch

        x·y=0 ⇒ (x=0)∨(y=0)

zeigen. Das geht zum Beispiel indem du die Kontraposition

        x≠0 ∧ y≠0 ⇒ x·y≠0

zeigts, was ich dann als Fall 3 bezeichnet habe.

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Geht für \(x\cdot 0=0\) eventuell folgender Beweis:

x·0=0

x·0=(0+0)·x    | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition

x·0=x·0+x·0  | Distributivgesetz

Existenz eines inversen bzgl. Addition ⇒ x·0=x·0+(-x·0)

x·0=0

q. e. d.

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Achso, und für -x=(-1)x ist das mein Vorschlag, sollte nun korrekt sein:

-x=(-1)x
-x=(0+(-1))x    | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition
-x=x·0+(-1·x)    | Distributivgesetz
-x=(-1)·x

q. e. d.

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x·0=0

x·0=(0+0)·x   | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition

x·0=x·0+x·0  | Distributivgesetz

Es ist mir nicht ganz klar, was du aufgrund welcher Regeln aus welchen Voraussetzungen folgerst. Insbesondere das x·0=0 am Anfang sieht seltsam aus. Warum steht es da?

Ich würde x·0 = 0 wie folgt beweisen.

$$ \begin{aligned} \text{Es gilt} &  & x\cdot0 & =x\cdot\left(0+0\right) &  & \text{weil Addition von }0\text{ neutral ist}.\\ \text{Also gilt auch} &  & x\cdot0 & =\left(x\cdot0\right)+\left(x\cdot0\right) &  & \text{wegen Distributivgesetz}.\\ \text{Also gilt auch} &  & \left(x\cdot0\right)+\left(-\left(x\cdot0\right)\right) & =\left(\left(x\cdot0\right)+\left(x\cdot0\right)\right)+\left(-\left(x\cdot0\right)\right) &  & \text{wegen Addition von }\left(-\left(x\cdot0\right)\right)\text{ auf beiden Seiten.}\\ \text{Also gilt auch} &  & \left(x\cdot0\right)+\left(-\left(x\cdot0\right)\right) & =\left(x\cdot0\right)+\left(\left(x\cdot0\right)+\left(-\left(x\cdot0\right)\right)\right) &  & \text{wegen Assoziativgtesetz.}\\ \text{Also gilt auch} &  & 0 & =\left(x\cdot0\right)+0 &  & \text{weil }-\left(x\cdot0\right)\text{ die Gegenzahl von }x\cdot0\text{ ist.}\\ \text{Also gilt auch} &  & 0 & =x\cdot0 &  & \text{weil Addition von }0\text{ neutral ist}. \end{aligned} $$

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Insbesondere das x·0=0 am Anfang sieht seltsam aus. Warum steht es da?

Das war nur nochmal zum Wiederholen der zu beweisenden Gleichung. Ansonstens:

Vielen Dank, das habe ich verstanden!

Was hältst du hiervon?

-x=(-1)x
-x=(0+(-1))x    | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Addition
-x=x·0+(-1·x)    | Distributivgesetz und x·0=0 wie in (i)
-x=(-1)·x

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Das war nur nochmal zum Wiederholen der zu beweisenden Gleichung.

Wenn du das machst, dann musst du unbedingt deutlich machen, dass du das nicht zum Ausgangspunkt deiner Argumention machst.

-x=(0+(-1))x

Hier steckt schon die Behauptung drin, die du zeigen möchtest.

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Wie meinst du das? wenn ich einfach eine null dazuaddiere, wie steckt da dann die Behauptung drinnen, die ich zeigen möchte?

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wenn ich einfach eine null dazuaddiere

Du addierst eine 0 zu einem Term in einer unbewiesenen Gleichung.

Die Idee eines direkten Beweises ist, eine gültige Gleichung so umzuformen, dass die Gleichung entsteht, die man beweisen möchte.

Ob die Gleichung -x = -1·x gültig ist, ist nicht bewiesen. Deshalb darf sie nicht als gültig angenommen werden.

Wenn du in dieser Gleichung zu der -1 eine 0 addierst, dann ändert sich dadurch nichts an dem Wissen über die Gültigkeit. Auch die Gleichung -x = (0 + (-1))·x darf nicht als gültig angenommen werden. Und so pflanzt sich die Unwissenheit über die Gültigkeit von Zeile zu Zeile fort.

Stattdessen: Fange mit einer Gleichung an, von der du weißt, dass sie gültig ist, zum Beispiel

(1)        0·x = 0.

Ein erster geeignete Umformungsschritt ist

(2)        (1 + (-1))·x = 0.

Weil Gleichung (1) gültig ist (wurde in Teil (i) bewiesen), ist Gleichung (2) auch gültig (1 und -1 sind nämlich Gegenzahlen). Forme weiter um bist du zu -x = -1·x kommst.

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Achso, jetzt verstehe ich das:

  0·x = 0

(1+(-1)·x=0    | Distributivität

1·x+(-1·x)=0   | Existenz eines neutralen Elements bzgl. Multiplikation

x+(-1·x)=0

-1·x=-x

q. e. d.

Danke für die Hilfe!

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Jetzt sieht's gut aus, auch wenn du ...

x+(-1·x)=0
-1·x=-x

... hier ziemlich viele Schritte ausgelassen hast.

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Wie meinen?... LG Folgt das nicht sofort daraus?

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Wenn aus der Gleichung

        x+(-1·x)=0

sofort die Gleichung

        -1·x=-x

folgt, dann gibt es ein Körperaxiom, das für die Umformung angewendet wurde. Welches ist das deiner Meinung nach?

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Du hast doch oben bei deinem x·0=0 Beweis auch einfach \((-(x\cdot 0))\) auf beiden Seiten addiert. Kann ich nicht auch einfach auf beiden Seiten \((-x)\) addieren?

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Kann ich nicht auch einfach auf beiden Seiten (−x) addieren

Ja, das darfst du. Dann entsteht entweder die Gleichung

        -x + (x+(-1·x)) = -x + 0

oder die Gleichung

        (x+(-1·x)) + (-x) = 0  + (-x)

je nach dem ob du von links oder von rechts an die Terme addierst. Nach welchen Regeln darfst du diese neue Gleichung denn vereinfachen zu

        -1·x = -x ?

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Naja, auf der linken Seite der Gleichung darf ich durch das Assoziativgesetz und durch die Existenz des inversen Elements bzgl. der Addition zusammenfassen zu \(-1\cdot x\) und auf der rechten Seite durch die Neutralität der Null einfach nur \(-x\) schreiben.

(x+(-1·x))+(-x)=0+(-x)

(x+(-x))+(-1·x)=0+(-x)    | Wegen Assoziativität

0+(-1·x)=0+(-x)   | Neutralität der Null

-1·x=-x

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(x+(-1·x))+(-x)=0+(-x)
(x+(-x))+(-1·x)=0+(-x)    | Wegen Assoziativität

Und wegen Kommutativität; immerhin hast du ja auf der linken Seite (-1·x) und (-x) vertauscht.

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Ja, stimmt auch Kommutativität. Guter Hinweis! Man muss schon stark umdenken, um das richtig zu lösen, weil einige Dinge einfach  so natürlich wirken, dass man sie gar nicht mehr hinterfragt!

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Noch eine Frage zu "Fall 3":  x≠0  ∧ y≠0   x·y=0

kann man das nicht sofort widerlegen (Beweis per Widerspruch), da man weiß, dass \(x · y = y · x\) für alle \(x,y\in \mathbb{K}\) gilt (Kommutativgesetz)