Reißverschlussprinzip Teilfolgen

Question

(an)n∈N und (bn)n∈N seien reelle Folgen, die beide gegen den Grenzwert c konvergieren. Wir definieren
die Folge (cn)n∈N mit c2n−1 = an und c2n = bn für alle n ∈ N.

Zu zeige dass die Folge (cn)n∈N ebenfalls gegen c konvergiert.

Answer 1

Für alle eps>0 gibt es ein no so dass

für alle n>no gilt  | c-a_n| < eps.    #

Desgleichen für b_n:

Für alle eps>0 gibt es ein mo so dass

 für alle m>mo gilt  | c-b_m| < eps.   ##

Sei nun eps > 0. Gesucht wird ein ko

so dass für alle k>ko gilt  | c-c_k| < eps.

Wähle ko = max(no,mo) .

Ist dann k>ko so ist jedenfalls

k>no und k>mo also gilt auch

für gerades k     (k+1)/2 > no und

für ungerades k     k//2 > mo

also entsprechend  k>2no-1 bzw  k> 2mo

 also gibt es n > no  bzw. m>mo  aus ℕ mit

                   c_k = a_n  zw  c_k=b_m  

also jedenfalls | c - ck | < eps wegen # bzw. ##.

Answer 2

Wie wäre es denn, wenn du mit Epsilon-Umgebungen von c arbeitetst?

Zu jedem Epsilon gibt es einen Index N_a, ab dem alle Glieder von (a_n)  in dieser Epsilonumgebung von c liegen.

Zu jedem Epsilon gibt es auch  einen Index N_b, ab dem alle Glieder von (b_n)  in dieser Epsilonumgebung von c liegen.

Die Menge der  beiden Zahlen N_a und N_b besitzt ein Maximum.

Zu jedem Epsilon gibt es deshalb einen Index Max(N_a,N_b), ab dem alle Glieder von (a_n) und von (b_n) in dieser Epsilonumgebung von c liegen.