Hier die Aufgabe mit meinem Lösungsweg. Ich übe momentan etwas das Beweisen. Ist das hier formal korrekt? Die Äquivalenz ist noch nicht ganz gezeigt, aber schon einmal (i) ⇒ (ii). Ich weiß, dass diese Aufgabe schon einmal hier behandelt wurde, aber es geht mir primär um meinen Lösungsweg.
Seien \(X,Y\) Mengen und \(f: X\rightarrow \) eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:
(i) f is injektiv
(ii) \(f^{-1}(f(A))=A\) für alle \(A⊂X\)
(i) ⇒ (ii)
Gleichheit von zwei Mengen:
a) \(f^{-1}(f(A))⊂A\)
b) \(A⊂f^{-1}(f(A))\)
Zu a):
Sei \(x\in f^{-1}(f(A))=\{x\in X : f(x)\in f(A)\}\). D. h. es muss mindestens ein \(a\in A\) geben, das \(f(x)=f(a)\) erfüllt. Da \(f\) injektiv ist, folgt aus \(f(x)=f(a)\Longrightarrow x=a\). Ferner ist dann \(x,a\in A\) und somit \(f^{-1}(f(A))⊂A\)
Zu b):
Wie in a) gezeigt ist \(x\in A\) und deswegen \(\colorbox{#AAFFAA}{f(x)∈f(A)}\). Dass \(x\in f^{-1}(f(A))\) ist, folgt sofort aus der Defintion von \(f^{-1}(f(A))=\{x\in X: \colorbox{#AAFFAA}{f(x)∈f(A)}\}\).
Ist das soweit ok?
