Kartesisches Produkt komplexer Zahlen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die kartesische Form der folgenden komplexen Zahl:

(\( \frac{1+i•\sqrt{3}}{2} \))ⁿ, n∈ℤ

Problem/Ansatz:

Ich stehe leider gerade total auf dem Schlauch und komme nicht weiter. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Answer 1

bei komplexen Zahlen hilf es oft, sich ihre graphische Repräsentation in der Gauß'schen Zahlenebene vorzustellen. Ist $$z = \frac {1 + i \sqrt 3}2$$so ist \(z\) ein Einheitsvektor, der zur X-Achse einen Winkel von \(60°= \pi/3\) einnimmt. Es ist also$$z =  e^{i \pi/3}$$ bzw.: $$z^n = \left( e^{i \pi/3}\right)^n = e^{in\pi/3} = \cos\left(\frac {n\pi}3 \right) + i \sin \left( \frac {n \pi}3\right)$$Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Irgendwie hat mich das hoch n etwas verwirrt. Aber so ist es logisch.