Wurzel aus einer Unbekannten zum Quadrat

Question

Aufgabe:

Warum ist die \( \sqrt{x^2} = \left|x\right| \)

Wurzel aus x^2 = der Betrag von x?

Problem/Ansatz:

Ich könnte doch in der Wurzel auch negative Zahlen für x einsetzten, die quadriert positiv werden und dann würde daraus die Wurzel gezogen...

Wo liegt mein Denkfehler?

Answer 1

das versteht man direkt an einem Beispiel:

\(\sqrt{2^2}=\sqrt{4}= 2 = |2|\)

\(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4} =2 = |-2|\)

\(\sqrt{x^2}= |x|\)

Gruß Wolfgang

Answer 2

"Ich könnte doch in der Wurzel auch negative Zahlen für x einsetzten, die quadriert positiv werden und dann würde daraus die Wurzel gezogen..."

Genau das ist der Punkt.

Die Wurzel aus (-7)² ist die Wurzel aus 49 und damit ist es 7.

Für den Fall x=-7 gilt also \( \sqrt{x²}=-x \), denn -(-7) ergibt tatsächlich 7.

Um eine umständliche Schreibweise mit Fallunterscheidung zu vermeiden

(\( \sqrt{x²}=-x \) für x<0

und

\( \sqrt{x²}=x \) für x>=0 )

verwendet man die kürzere und beide Fälle umfassende Schreibweise

\( \sqrt{x²}=|x| \),