Beweis von A: | x | = | -x | , x∈ℝ anhand der Definition vom Betrag

Question

Zu beweisen gilt die Aussage:

A: | x | = | -x |   x∈ℝ
 

Ich bin so rangegangen:

| x | = √ (x)² 

| -x | =  √ (-x)² 

Damit kann ich sichergehen, dass die x positiv werden.
Nun habe ich beides gleichgesetzt:

√(x)² = √(-x)²

⇔ x = x

Wäre ich fertig?

 

Comments

Habt ihr denn den Betrag einer reellen Zahl als Wurzel aus dem Quadrat definiert?

Ich kenne da die Definition mit Fallunterscheidung:

|x| : = x , für x≥ 0
|x| : = -x, für x < 0

Answer 1

Ja. Du könntest noch genauer schreiben

(-x)^2 = (-1)^2 * x^2 = x^2

Also 

√((-x)^2) = √(x^2)

Answer 2

Der Betrag ist so definiert, wie Lu es im Kommentar geschrieben hat.

Also Fallunterscheidung:

Fall 1: x ≥ 0

=>

a)  - x ≤ 0 => | - x |  =  - ( - x ) = x 

und

b) | x | = x

also insgesamt:

| - x  | = x = | x |

 

Fall 2: x < 0

=>

a) - x > 0 => | - x |  =  - x 

und

b ) | x | = - x

also insgesamt:

| - x  | = - x = | x |

 

In beiden Fällen gilt also:

| - x | = | x |

q.e.d.

 

Schau auch mal hier:

https://www.mathelounge.de/109630/x-x-beweisen-anhand-von-betragsfunktionen

Da habe ich den Beweis noch etwas kompakter hinbekommen.