Ungleichung mit Quadrat und Betrag. Gegeben ist folgende Ungleichung: lx^2+3l>0 <== x<-3

Question

Gegeben ist folgende Ungleichung: lx^2+3l>0      <== x<-3

Wie ist hier vorzugehen? Soll das <==x<-3 mir sagen, ich kann einfach -4 als x einsetzen? Sprich

l-4^2+3l>0?

Answer 1

Die Ungleichung | x ² + 3 | > 0 ist für alle reellen x erfüllt, also wahr.

Was die Zeichenkette " <== x<-3 " zu bedeuten hat, weiß wohl nur derjenige, der sie hingeschrieben hat. Eine definierte mathematische Bedeutung hat diese Zeichenkette jedenfalls nicht, sodass also ein Betrachter ohne Kenntnis des Kontextes mit ihr nichts anfangen kann. Er kann höchstens versuchen, ihre Bedeutung zu erraten. Dessen aber möchte ich mich enthalten.

Comments

Und wie löse ich diese Ungleichung dann schriftlich? Durch das x^2 habe ich zuerst an die pq Formel gedacht. Aber das bringt mir ja recht wenig.

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Da gibt es eigentlich nichts zu lösen. Wenn man in den reellen Zahlen bleibt, ist die Lösungsmenge

L = { x ∈ R }

denn der Betrag aus der Summe des Quadrates einer reellen Zahl x und einer positiven Zahl ist für alle x ∈ R echt größer Null.

Wenn man unbedingt rechnen möchte, kann man die Definition des Betrages anwenden, die da lautet:

| x | = x falls x ≥ 0 

| x |  = - x falls x < 0

Damit erhält man:

Fall 1:  x ² + 3 ≥ 0

Dann:

| x ² + 3 | > 0

<=> x ² + 3 > 0

<=> x ² > - 3

Das aber gilt für alle x ∈ R, und damit ist man auch schon fertig, weil keine weiteren reellen Lösungen hinzukommmen können.

Der Vollständigkeit halber noch der

Fall 2:  x ² + 3 < 0

Dann:

| x ² + 3 | > 0

<=> - x ² - 3 > 0

<=> x ² < - 3

Das aber gilt für kein x ∈ R, also bringt dieser Fall (erwartungsgemäß) keine weitere Lösung.

Also: L = R 

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Danke für Deine Antwort.

Hier mal die komplette Aufgabe:

a) |x^2 + 3| > 0 <= x < −3

Aufgabe: Bestimmen Sie ob die Ungleichung wahr oder falsch ist.

 

Die obige Rechnung kann ich nachvollziehen:

1.) |x^2 + 3| > 0

= x^2 > -3

 

2.) |x^2 + 3| < 0

= x^2 < -3

Meine beiden "Lösungen" sind also x^2 > -3 und  x^2 < -3

Nur weiß ich nicht wie ich daraus erkennen kann, ob die Ungleichung wahr oder falsch ist.

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 Bestimmen Sie ob die Ungleichung wahr oder falsch ist.

Als Antwort musst du 'wahr' oder 'falsch' schreiben. JotEs hat dir oben vorgerechnet, dass diese Ungleichung immer stimmt. Daher schreibst du einfach 'war'. Du musst da wirklich kein x angeben. 

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Soweit ist das schon klar. Nur wenn ich beide Fälle ausrechne und auf  x^2 > -3 und  x^2 < -3 komme, weiß ich nicht wie ich daraus erkenne, ob die Ungleichung wahr oder falsch ist. Anders gesagt, wieso sagt mir x^2 > - 3, dass die Ungleichung wahr ist? Sorry, ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch.

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2.) |x² + 3| < 0

= x² < -3

Diesen Fall gibt es nicht.

Kein x^2 ist kleiner als -3.

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Ach, jetzt verstehe ich. Egal was ich quadriere, es kommt immer ein Ergebnis größer 0 raus.

Danke :-)

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Anders gesagt, wieso sagt mir x² > - 3, dass die Ungleichung wahr ist?

Weil diese Aussage durch äquvalente Umformungen aus der Betragsungleichung entstanden ist, die beiden Ungleichungen also äquivalent sind. Denn wenn zwei Aussagen äquivalent sind, dann gilt:   Wenn die eine Aussage wahr ist, so ist es auch die andere und umgekehrt.

Also: Da x ² > - 3  wahr ist, ist auch die zu dieser Aussage äquivalente Aussage | x ² + 3 | > 0 wahr.

Answer 2

|x^2 +3| > 0

stimmt für alle x Element R.

Grund. x^2 ist nie kleiner als 0

 

 |x² + 3|  ≥ 3 > 0

Comments

Eine letzte Frage noch: Was genau hat nun das <= x < −3 in der Aufgabe zu bedeuten?

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Vielleicht: "Sogar für alle x < -3 stimmt die Ungleichung" ??? Also -3.000001, -3.01... , -1000 etc.

Da die Ungleichung allgemeingültig ist, ist das ja auch klar. Dein (-4)^2 wäre ja 16

16 + 3 > 0.

0 <= x

Kann es sein, dass mit <= das 'kleiner gleich"-Zeichen also ≤ gemeint ist?

Dann enthielte die Kette

0 <= x < -3 

und solche x gibt es gar nicht.