Berechnen Sie den Abstand des Punktes von der Geraden.

Question

Aufgabe:

g:x=(4|5|6)+t*(-2|1|1)

T(6|-6|9)

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht auf die richtige Ebenenform,im  Buch steht - 9

Answer 1

E: -2x+y+z = d

d = -2*6-6+9 = -9

Also lautet die Gleichung der Hilfsebene -2x+y+z=-9

Answer 2

Ich weiß nicht, wieso du zur Abstandsbestimmung eine Ebenengleichung brauchst, ich würde es anders machen.

Was ich sehe: DEINE Ebene enthält den Punkt (4|5|6).

Ersetzt man 3 durch -9, dann bekommt man eine Ebene, die den Punkt T enthält.

Answer 3

man könnte das Ganze auch wie folgt lösen:

d = \( \frac{ | \vec{a} × ( \vec{r_t} - \vec{r_1} ) |}{ | \vec{a} | } \),

wobei

d = Abstand zwischen Gerade g und Punkt T

\( \vec{a} \) = Richtungsvektor von g

\( \vec{r_t} \) = Ortsvektor von T

\( \vec{r_1} \) = Stützvektor von g

g: \( \vec{x} \) = \( \vec{r_1} \) + t * \( \vec{a} \)

g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} -2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

\( \vec{r_t} \) = \( \begin{pmatrix} 6\\-6\\9 \end{pmatrix} \)

\( \vec{a} \) × ( \( \vec{r_t} \) - \( \vec{r_1} \) ) = \( \begin{pmatrix} -2\\1\\1 \end{pmatrix} \)  × \( \begin{pmatrix} 6  -  4\\-6  -  5\\9  -  6 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 14\\8\\20 \end{pmatrix} \)

|  \( \vec{a} \) × ( \( \vec{r_t} \) - \( \vec{r_1} \) )  | = \( \sqrt{14^2 + 8^2 + 20^2} \) = 2\( \sqrt{165} \)

|  \( \vec{a} \)  | = \( \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} \) = \( \sqrt{6} \)

d = \( \frac{2\sqrt{165}}{\sqrt{6}} \) = \( \sqrt{110} \) ≈ 10.49