Zeigen: Elemente der Matrix (Zeilen, Spalten) AA* lassen sich darstellen durch ⟨ zi , zj ⟩

Question

Aufgabe:

Sei A eine Matrix mit den Zeilen z_i und den Spalten s_j. Zeige, dass
(i) das ij-te Element von AA*durch ⟨ z_i , z_j ⟩
(ii) das ij-te Element von A*A durch ⟨ s_j , s_i ⟩ dargestellt wird.

Problem/Ansatz:

A= \( \begin{pmatrix} a11 & ... & a1n \\ ... & ... & ... \\ an1 & ... & ann \end{pmatrix} \)

z₁ = (a₁₁, .... a_1n)   bis    z_i = (a_n1, ... a_nn)

s1 = (a₁₁, .... a_n1)    bis   sj = (a_1n, .... a_nn)

Wobei z die Zeilen und s die Spalten sind.

AA* = \( \begin{pmatrix} a11 & ... & a1n \\ ... & ... & ... \\ an1 & ... & ann \end{pmatrix} \) • A*

wobei A* die komplex konjugierte Matrix darstellt.

Meine Frage:

Wie kann ich hierbei voran gehen bzw. wie komme ich weiter?

DANKE!

Answer 1

Ich denke mal, dass A* die adjungierte Matrix ist,

also A transponiert und konjugiert.

Und für das ij-te Element A*A^* brauchst du ja immer:

i-te Zeile von A mal j-te Spalte von A^* .

Nun sind ja die Spalten von A^* die  konjugierten Zeilen von

A, also hast du immer

z_i * z_j_konjugiert und das ist ja gerade  ⟨ zi , zj ⟩.

siehe etwa bei:

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Standardskalarprodukt_im_Rn_und_im_Cn