Besondere Punkte eines Funktionsgraphen mit ln

Question

Von einer der Ballonfahrten liegen Aufzeichnungen des Höhenbarometers des  Heißluftballons vor. 
Die Auswertung hat ergeben, dass sich die Höhe des Ballons über  dem Startpunkt der Ballonfahrt für  t > 0  durch die Funktion  h(t)= 2t² * (1,5 - ln(t))  beschreiben lässt, wobei t die Zeit in Stunden und h(t)  die Höhe in 100 Metern ist.  Der Ballon startet zum Zeitpunkt t=0 in der Höhe  h=0. 

a)Bestimmen Sie die Dauer der Ballonfahrt und die größte erreichte Höhe unter  der Annahme, dass der Ballon eine ebene Landschaft überfliegt. 

b)Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt der Ballon am stärksten steigt und zu  welchem Zeitpunkt der Ballon am stärksten sinkt und bestimmen Sie zu  diesen Zeitpunkten die Steig‐ bzw. Sinkgeschwindigkeit und die jeweilige  Höhe.

c)Skizzieren Sie das Höhenprofil der Ballonfahrt.

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Ja ich weis, jetzt nicht wirklich was ich hier nun tuen soll. 
Muss man das gegen unendlich laufen lassen?

Wäre toll wenn mir wer helfen könnte.

Comments

Ich hege Zweifel an der Formel
Bei t = 90 Std wäre der Hochpunkt bei
800 Kilometer.
Ein bißchen viel.
Bitte die Formel überprüfen oder als
Foto einstellen.

mfg Georg

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Ein Fehler in meiner Rechnung.
Es wurde ein Komma ins Matheprogramm
übernommen wo ein Punkt hingehörte.
Ist durch die andere Antwort alles
geklärt ?
Sonst hier nachfragen.

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Was muss man denn machen, ich versteh nicht was ich machen muss??

Answer 1

c)Skizzieren Sie das Höhenprofil der Ballonfahrt.

a)Bestimmen Sie die Dauer der Ballonfahrt

Nullstellen der Funktionsgleichung t=0 und t=√(e³)

und die größte erreichte Höhe unter  der Annahme, dass der Ballon eine ebene Landschaft überfliegt.

Nullstellen der ersten Ableitung t=0 und t=e. Größte Höhe ist h(e).

b)Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt der Ballon am stärksten steigt

Nullstelle der zweiten Ableitung: t=1

am stärksten fällt der Ballon im Moment der Landung.

Answer 2

Die balonfahrt ist zu Ende wenn die Höhe wieder null ist. Also nimmt man die Funktion und setzt sie null.

2t^2*(1,5-ln(t))=0

Gemäß Satz vom nullprodukt können wir die beiden Faktoren getrennt betrachten. Der erste term hilft uns nicht weiter. Hier ist t=0. Aber der zweite.

1,5-ln(t)=0

1,5=ln(t)

e^{1,5}=t

t≈4,48h

Comments

Danke kannst du mir bei der Ableitung helfen  da ich da die  größte erreichte Höhe berechnen muss denke ich mal das dies t'(x)=0 ist

Answer 3

Danke kannst du mir bei der Ableitung helfen  da ich da die  größte erreichte Höhe berechnen muss denke ich mal das dies t'(x)=0 ist
Bingo

h ( t ) = 2 *t^2 * (1,5 - ln(t)) 
Produktregel
u = 2 * t^2
u ´ = 4 * t
v = 1.5 - ln(t)
v ´ = - 1/t

( u * v ) ´ = u´ * v + u * v´
( 4t ) * ( 1.5 - ln(t) ) + ( 2 t^2 ) * (-1/t )
6t - 4*t*( -ln(t) ) - 2*t
4t * - 4*t*( ln(t) )
4t * ( 1 -ln(t ))
h ´( t ) = 4t * ( 1 - ln ( t ))
Extremwerte
4t * ( 1 - ln ( t ) = 0
Satz vom Nullprodukt
t = 0
und
t - ln(t) = 0
ln(t) = 1
t = e^1
t = e

Höchste Höhe
h ( e ) = 2 *e^2 * (1,5 - ln(e)) 
h ( e ) = 2 * e^2 * 0.5
h ( e ) = e^2