Aufgabe:
Wir setzen voraus: Liegt ein Polynom p vom Grad kleiner gleich N in der Form \(p(x)=\frac{c_0}{2}+c_1T_1(x)+...+c_NT_N(x), \ c_n \in \mathbb{R}\) vor, so lässt sich mt Hilfe der Rekursion \(d_{N+2}=d_{N+1}=0, \\ (A) \ d_n=c_n+(2x)d_{n+1}-d_{n+2}, \ n=N,N-1,...,0\)
der Funktionswert an einer festen Stelle x durch \(p(x)=\frac{1}{2}(d_0-d_2)\) berechnen. Hierbei sind \(T_n(x)\) ebenfalls Polynome vom Grad kleiner gleich N mit \(|T_n(x)|\leq 1\) für \(|x|\leq 1\).
In der Berechnung der \(d_n\) in (A) treten Rundungsfehler auf, die wir zusammenfassend mit \(\varepsilon_n\) bezeichnen. Wir Berechnen also eigentlich \(\tilde{d}_{N+2}=\tilde{d}_{N+1}=0,\)
\((B) \ \tilde{d}_n=c_n+(2x)\tilde{d}_{n+1}-\tilde{d}_{n+2}+\varepsilon_n, \ n=N,N-1,...,0\) und somit den Fehlerbehafteten Funktionswert \(\tilde{p}(x)=\frac{1}{2}(\tilde{d}_0-\tilde{d}_2)\).
Sie sollen in dieser Aufgabe zeigen, dass für \(|x|\leq 1\) die Abschätzung
\((C)\ |\tilde{p}(x)-p(x)|\leq \sum_{n=0}^{N}|\varepsilon_n|\) gilt. Gehen dabei wie folgt vor:
a) Leiten Sie eine Formel für den Fehler \(e_n:=\tilde{d}_n-d_n\) für \(n=N+2,...,0\) in der Form von (A) her und nutzen Sie diese, um zu folgern: \(\frac{1}{2}(e_0-e_2)=\frac{\varepsilon_0}{2}+\varepsilon_1T_1(x)+...+\varepsilon_NT_N(x)\).
b) Drücken Sie \(\tilde{p}(x)-p(x)\) durch die Fehler \(e_0\) und \(e_2\) aus und nutzen Sie die vorausgesetzte Eigenschaft \(|T_n(x)|\leq 1\) für \(|x|\leq 1\), um (C) zu zeigen.
Problem/Ansatz:
Da ich bei dieser Aufgabe leider komplett auf dem Schlauch stehe habe ich erst einmal versucht \(e_n:=\tilde{d}_n-d_n\) durch die in der Aufgabenstellung angegebenen Formeln für \(d_n\) und \(\tilde{d}_n\) darzustellen und zu schauen ob mir das irgendetwas bringt. Anschließend habe ich meine Formel für \(e_n\) in die Formel aus der a) eingesetzt, wodurch ich zwar sehr schöne Bandwürmer erhalten habe, ich aber nicht weiß, wie ich das geforderrte aus den mir bekannten Informationen folgern bzw. nachrechnen kann.
Ich wäre jedem sehr dankbar, der mir die Aufgabe nochmal so erklärt, dass mir ein Licht aufgeht, oder mir irgendwelche Ansätze liefern kann. Ansonsten bin ich hier nämlich ein bisschen aufgeschmissen.
