Aufgabe:
Guten Morgen mathelounge..
Diese Klausur habe ich letzte Woche geschrieben und bin leider durchgefallen, obwohl ich das Gefühl hatte, dass ich ziemlich sicher durchkomme.
Deshalb wollte ich mich hier für die Einsicht vorbereiten, um noch den oder die fehlenden Punkt/e zu finden(meistens passiert ja nichts mehr).
Text erkannt:
Aufgabe 1: \( \quad\left(2+2=4\right. \) Punkte) Sei \( \|\cdot\|: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}_{+} \)die Zeilensummennorm und \( A, B \in \mathbb{R}^{n \times n} \).
Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) \( \|A+B\|=\|A\|+\|B\| \).
(b) \( \|A\|<\|B\| \), wenn für alle Matrixeinträge \( a_{i j}<b_{i j} \) gilt.
Aufgabe 2: (4 Punkte) Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) mit \( m \geq n \) und rk \( A=n \).
Zeigen Sie: \( A^{T} A \) besitzt eine Cholesky-Zerlegung. Diese ist NICHT zu berechnen.
Aufgabe 3: (4 Punkte) Betrachten Sie für \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R} \) die Funktion
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x+1)+(x+1)^{3} & \text { für }-1 \leq x \leq 0 . \\ -11+\alpha(x+1)+\beta(x-1)^{2}+\gamma x^{3}+\delta \sin x & \text { für } 0<x \leq 1 . \end{array}\right. \)
Können Sie \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) so bestimmen, daß \( f \) ein kubischer Spline ist?
Wenn ja, geben Sie \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) an. Wenn nein, begründen Sie, weshalb dies nicht möglich ist.
Aufgabe 4: (4+3 Punkte) Es sei \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine reguläre Matrix und \( u, v \in \mathbb{R}^{n} \) zwei Vektoren für die \( 1-v^{\top} A^{-1} u \neq 0 \) gilt.
(a) Beweisen Sie die Sherman-Morrison Formel
\( \left(A-u v^{\top}\right)^{-1}=A^{-1}+\frac{A^{-1} u v^{\top} A^{-1}}{1-v^{\top} A^{-1} u} . \)
(b) Zeigen Sie, daß ein LGS mit der Matrix
\( M=\left(\begin{array}{ccccc} 3 & -1 & -0 & \cdots & -1 \\ -1 & 3 & -1 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & -1 & 3 & -1 \\ -1 & \cdots & 0 & -1 & 3 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n} \)
mit der Sherman-Morrison Formel und dem Thomas-Algorithmus gelöst werden kann.
Aufgabe 5: (6 Punkte) Wir wollen die Nullstelle der Bessel-Funktion
\( J_{1}(x):=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \cos (x \cdot \sin t-t) d t \)
im Intervall \( [2,5] \) berechnen.
Schlagen Sie hierzu eine geeignete Kombination numerischer Verfahren vor, um das Integral zu bestimmen und sowie das Nullstellenproblem zu lösen.
Geben Sie die hierfür benötigten Rechenschritte an. Begründen Sie Ihre Wahl.
Hinweis: Die Existenz einer eindeutigen Nullstelle müssen Sie nicht beweisen. Falls nötig, können
Sie auch verwenden, \( d a \beta \frac{d}{d x} J_{1}(x) \neq 0 \) für \( x \in[2,5] \) gilt.
Aufgabe 6: \( \left(2+3\right. \) Punkte) Gegeben die Gleichung \( x^{3}-2 x^{2}-e^{-x}=0 \)
(a) Zeigen Sie, daß die Gleichung auf dem Intervall \( [2,3] \) genau eine Lösung \( x^{*} \) besitzt.
(b) Zeigen Sie, daß die Fixpunkt-Iteration \( x_{n+1}=2+\frac{e^{-x_{n}}}{x_{n}^{2}} \) für Startwerte \( x_{0} \in[2,3] \) konvergiert.
Problem/Ansatz:
Einige Aufgaben habe ich hier bereits gestellt und auch von euch beantwortet bekommen(danke), aber ich werde meine Lösungen zu den einzelnen Aufgaben nochmal in die Kommentarbox schreiben.
