Quadraturfehler Trapezregel

Question

Das ist meine Aufgabe: 

Betrachtet werde $$I=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
Ferner sei T(n) der mit der Schrittweite $$h=\frac{b-a}{n}$$nach der verallgemeinerten Trapezregel berechnete
Näherungswert für I. Dann kann man den Quadraturfehler abschätzen durch $$|I-T(n)|\leq \frac{\text{max x∈[a,b]|f''(x)|}}{12}*\frac{(b-a)^{3}}{n^{2}}$$

Berechnen Sie für das Integral $$I=\int_{0,3}^{3,1} e^{x}dx$$die Fehlerbschätzung, wobei n=8.

Mein Problem ist, dass ich die Formel nicht richtig verstehe und nicht weiß wie ich rechnen soll. 
Ich habe gegoogelt wie ich konnte, aber leider hab ich nichts gefunden wo jemand es Schritt für Schritt erklärt wo, wie, was und warum.
Es ist bestimmt nicht schwer, wenn man versteht was man machen muss.

Answer 1

Hallo catto,

Die Funktion ist \( f(x) = \textrm{e}^x \). Die Grenzen sind \( b = 3.1 \) und \( a = 0.3 \). Es werden \( n = 8 \) Teilintervalle verwendet. $$ \max_{x\in[a,b]} |f''(x)| $$ ist einfach der Betrag des betragsmäßig größten Werts der zweiten Ableitung von \( f \) im Intervall \( [a,b] \).

Es ist \( f''(x) = \textrm{e}^x \). Das Maximum wird für \( x = b \) angenommen (die Exponentialfunktion ist positiv und monoton steigend, für andere Funktionen könntest z.B. hier auch alle lokalen Extrema und Randextrema bestimmen, die Beträge der Funktionswerte bestimmen und dann davon den größten nehmen), also $$ \max_{x\in[a,b]} |f''(x)| = f''(b) = \textrm{e}^b $$

Der Fehler kann somit nach oben durch $$ \frac{\textrm{e}^b}{12} \frac{(b-a)^3}{n^2} \approx 0.6345 $$ abgeschätzt werden.

Es gilt übrigens:

$$ I = \int_a^b f(x) ~\textrm{d}x = \textrm{e}^b - \textrm{e}^a \approx 20.8481 $$

$$ T(n) \approx 21.0605 $$

und \( |20.8481 - 21.0605| = 0.2124 \le 0.6345 \)

Comments

Danke für deine Antwort! 
Ich verstehe jetzt die Formel einigermaßen, aber kannst du mir sagen wie du T(n) ausgerechnet hast?

Außerdem fehlt hier bei 0.2124 das minus Zeichen davor? |20.8481−21.0605|=0.2124≤0.6345

Und jetzt vielleicht eine dumme Frage, aber was ist jetzt genau die Antwort für die Fehlerabschätzung?

---

kannst du mir sagen wie du T(n) ausgerechnet hast?

Klar,

$$ \begin{aligned} T(n) &= \sum_{i=0}^{n-1} h \cdot \frac{f(a + i\cdot h) + f(a + (i+1)\cdot h)}{2} \\ &= \frac{h}{2}\left( f(a) + 2f(a+h) + 2 f(a+2h) + 2f(a+3h) + 2f(a+4h) + 2f(a+5h) + f(a+6h) + 2f(a+7h) + f(a+8h)\right) \end{aligned} $$

Außerdem fehlt hier bei 0.2124 das minus Zeichen davor? |20.8481−21.0605|=0.2124≤0.6345

Nein, da ist ein Betrag drum ;)

Und jetzt vielleicht eine dumme Frage, aber was ist jetzt genau die Antwort für die Fehlerabschätzung?

Der Fehler kann somit nach oben durch

$$ \frac{\textrm{e}^b}{12} \frac{(b-a)^3}{n^2} \approx 0.6345 $$

bzw. \( | I - T(n) | \le \frac{\textrm{e}^b}{12} \frac{(b-a)^3}{n^2} \approx 0.6345 \)

Die Fehlerabschätzung gibt dir den maximal Wert an um den der numerisch berechnete Wert vom tatsächliche Wert abweichen kann.

---

Ahh, also doch mit der Trapezregel! 
Ich habe wohl bei meiner Trapezregel Rechnung ein Fehler gemacht, weil ich auf 17,5605 kam und nicht 21.0605

Hab das mit dem Betrag vergessen!

Noch eine letzte Frage. Ich habe genau die selbe Aufgabe bloß mit der Simpsonregel 
Da ist die Formel ein bisschen anderes 
$$|I-S(n)| \leq \frac{\max\limits_{x \in [a,b]} |f^{(4)}(x)|}{2880} \cdot \frac{(b-a)^5}{n^4}$$

Wird mit $${|f^{(4)}(x)|}$$ die 4te Ableitung gemeint oder was bedeutet diese 4?

---

Ja genau damit ist die 4. Ableitung gemeint.