Zeigen Sie, daß es keine Quadraturformel gibt, die exakt auf P2n+2 ist

Question

Aufgabe:

Sei [a, b] ⊂ R und seien x₀, . . . , x_n ∈ [a, b] gegeben.
Zeigen Sie, daß es keine Quadraturformel (also keine Wahl der Gewichte α₀, . . . , α_n) mit
diesen Stützstellen gibt, die exakt auf P_2n+2 ist.

Ich weiß nicht genau, wie ich hier vorgehen muss.

Wenn Exaktheit herrscht, müsste doch gelten:
\( \int\limits_{a}^{b} \) L(x) dx = \( \sum\limits_{i=0}^{n}{α_i·y_i} \)

aber wie kann ich zeigen, dass das eben nicht gilt?

Answer 1

Wenn Exaktheit herrscht, müsste doch gelten:...

1. Bitte lies Deinen Text Korrektur.

2. Führe keine neuen Bezeichnungen ein (L(x), y_i) ohne Def.

3. Das stimmt so nicht, denn es fehlen Angaben für welche ... das gelten soll oder nicht.

Zu Deiner Aufgabe: Indirekt. Betrachte \(p(x)=\prod\limits_{i=0}^n (x-x_i)^2\).

Du kannst bei Bedarf gerne Deine Lösung hochladen, aber beachte bitte die obigen drei Punkte, damit wir uns auf die Mathematik konzentrieren können, ohne vorherige Dekodierungen.

Comments

Das tur mir leid.
p(x) = \( \prod_{i=0}^{n}{} \) (x-x_i)²

Das bedeutet, dass das Integral von p(x) > 0 wäre.

Q(p) = \( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) a_ip(x_i) = 0

Und das ist dann ein Widerspruch.

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Ja genau. Aber sehr knapp formuliert (formaler indirekter Beweis fehlt, Gradbetrachtung, Auswertung der Formel usw.) du hast es verstanden, aber von voller Punktzahl bist du noch ein Stück entfernt.