Integral zu Bruch im Nenner mit x

Question

Aufgabe: wie geht das Integral zu 8x / (x^2-3)

Ich weiß schon, dass irgendwas mit x im Nenner ln ergibt, aber was mache ich dann noch mit dem Zähler ? Beim Integral gibt es doch keine Quotientenregel

Ich hätte also ln (x^2-3) * 1/2x und dann noch * 8x = 4ln(x^2-2)

Stimmt das so ?

Was mache ich aber mit einem komplizierteren Zähler z.B. 4x^3 -2x  / (x^2-3)  ?

Den kann ich doch bestimmt  nicht einfach so abschreiben ?

Es gibt beim Integral zwar eine Faktorregel, aber da steht bei mir im Buch nur, dass ein konstanter Faktor stehenbleibt.

Bitte Hilfe

Problem/Ansatz:

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Integral zu quadrat im Nenner, Produktregel

Stichworte: integral,stammfunktion

Aufgabe: wie geht das Integral zu 8x / (x^2-3)

Ich weiß schon, dass irgendwas mit x im Nenner ln ergibt, aber was mache ich dann noch mit dem Zähler ? Beim Integral gibt es doch keine Quotientenregel

Ich hätte also ln (x^2-3) * 1/2x und dann noch * 8x = 4ln(x^2-2)

Stimmt das so ?

Was mache ich aber mit einem komplizierteren Zähler z.B. 4x^3 -2x  / (x^2-3)  ?

Den kann ich doch bestimmt  nicht einfach so abschreiben ?

Es gibt beim Integral zwar eine Faktorregel, aber da steht bei mir im Buch nur, dass ein konstanter Faktor stehenbleibt.

Bitte Hilfe

Problem/Ansatz:

Answer 1

Entweder du ziehst die 8 vor das Integral und substituierst z= x² -3 -> du = 2x dx und erreichst somit die Form \(8\displaystyle\int \dfrac{1}{u}\, du\)

oder du wendest die Regel an, dass wenn im Nenner die Ableitung des Zählers steht, dass dann das Integral der nat. Logarithmus mit dem Nenner als Argument ist.

\(\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln[f(x)]+C\)

x² - 3 abgeleitet ergibt 2x. Nun steht allerdings im Zähler 8x. Der Wert lässt sich jedoch mit 4 multiplizieren, wodurch sich die Stammfunktion 4*ln(x²-3)+C ergibt.