Alle Untervektorräume eines K-Vektorraums

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Bestimmen Sie alle Untervektorräume von K, aufgefasst als Vektorraum über sich selbst.

Problem/Ansatz:

Es muss gelten: dim(K) >= dim (UVR)

Da K als K-Vektorraum aufgefasst wird, ist dim(K) =1, da man aus einem Element aus K durch Addition und Multiplikation alle anderen Elemente erzeugt werden kann  also bildet nur ein Element aus K eine Basis.

Somit gilt: 1>= dim (UVR)

Also: dim(UVR1) =1, somit UVR2=K, dim(UVR2) =0, somit UVR2= leere Menge.

Stimmt das so? Ich bin mir unsicher, ob der Fakt, dass K als Vektorraum über sich selbst aufgefasst wird, etwas verändert.

für eure Antworten

Answer 1

Fast alles richtig, bis auf

dim(UVR2) =0, somit UVR2= leere Menge.

Vektoirraum mit der dim=0 ist der Nullraum,

also nicht leere Menge, sondern UVR2={ 0 } .

Es gibt also nur zwei Unterräume:

K selbst und der Nullraum.

Comments

Vielen Dank, da hatte ich wohl einen Denkfehler.