Ist diese Teilsummenfolge monoton?

Question

Aufgabe:

\(a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}\)

Ich will mit dem Monotoniekriterim schauen ob diese Folge monoton ist. 

Ich sehe, dass es sich um eine Summe hierbei handelt. 

Um zu testen ob sie monoton ist, rechne ich \(a_{n+1}-a_{n}\)


Fragen: 
(1) Wie finde ich hier heraus, was das n-te bzw. (n+1)-te Folgenglied ist ? 

(2) Normalerweise kenne ich Folgendglieder der Form: )Zahl), (andere Zahl), (wieder andere Zahl),.....
Hier ist es etwas anders: (ZahlA), (ZahlA + Zahl B), (ZahlA + ZahlB + ZahlC), .....

(3) Wie finde ich das n-te bzw. (n+1)-te Folgenglied einer Folge heraus die keine Summe ist? Zum Beispiel dieser Folge 
\(c_{n}=\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right). \)
Wobei hier die Aufgabenstellung ist, den Grenzwert zu berechnen aber das Multiplikationszeichen verwirrt mich. 

Answer 1

(1) Wie finde ich hier heraus, was das n-te bzw. (n+1)-te Folgenglied ist ? 

Du kannst direkt die Differenz zwischen zwei Folgengliedern untersuchen. Annahme n+m > n 

a_(n+m) - a_(n) = Summe (1/k^2) mit k von (n+1) bis (n+m)

Da die Summe eine Summe von positiven Summanden ist, ist sie auch positiv.