Folge 1/n konvergiert. Warum +1, warum Rundungsfunktion?

Question

Aufgabe:
\( \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0.  \)

Es gilt: 
\(| a_{n} - a | < ε \) für alle \(n ≥ N.\) 

Nehmen wir an, es sei ein beliebiges aber festes \(ε>0\) gegeben,
dann mache ich mich sofort  auf die Suche um zu diesem \(ε>0\) ein passendes \(N \in \mathbb{N}\) zu finden. 

Die Umformung. 

Ich betrachte die Aussage \(|a_{n} - a| < ε.\)

da \(a_{n} = \frac{1}{n}\) und \(a = 0\) und  ε=ε gegeben sind, setze ich diese Werte ein. 

\( = | a_{n} - a | < ε \)
\( = | \frac{1}{n} - 0 | < ε \)
\( = | \frac{1}{n}| < ε \)
...
Bemerkung: Da n immer positiv ist, ist 1/n positiv, Betragsstriche können also weggelassen werden. 
...
\( = \frac{1}{n} < ε \)
\( = \frac{1}{ε} < n .\)

Wie zu sehen ist, 
habe ich den Zusammenhang zwischen \(ε\) (was man mir gibt) und dem "klein" \(n\), also dem Index der Folge \( a_{n} = \frac{1}{n} \) ab dem alle Folgeglieder innerhalb des ε-Streifens (Epsilonumgebung) liegen gefunden: $$  \frac{1}{ε} < n . $$

Frage

Dank meiner Umformung weiss ich, dass alle Folgeglieder \(a_{n}\) meiner obigen Folge, die einem Index \(n\) mit \(n>1/ε\) haben innerhalb der Epsilonumgebung liegen. (Was ich weiter schreibe bin ich mir Unsicher)
Ich weiss, dass insbesondere das Folgenglied  \(a_{n}\) was den Index \(n\) hat mit der Eigenschaft \(n>1/ε\)auch bereits innerhalb der Epsilonumgebung liegt. (1) Stimmt das? 

(2) Kann ich jetzt nicht einfach sagen, dass N = n > 1/ε ist? 

Ich sehe, dass in einigen Schriften geschrieben steht, 
dass mach zum klein n noch 1 dazu addiert. Und manchmal ab oder aufrundet, 
Aber ich verstehe überhaupt nicht wieso man das macht ? 

(3) Kann mir jemand vielleicht mit Beispielen helfen das zu verstehen  ?

Answer 1

Ich weiß, dass insbesondere das Folgenglied  a_n, was den Index n hat,

 mit der Eigenschaft n>1/ε  auch bereits innerhalb der Epsilonumgebung liegt.

(1) Stimmt das?     JA !

(2) Kann ich jetzt nicht einfach sagen, dass N = n > 1/ε ist ?

Genauer aber wohl:   Du nimmst als N eine natürliche Zahl, die größer

als 1/eps ist, diese gibt es nach dem Axiom des Archimedes.

Du  kannst aber nicht sagen :    N = 1/eps

denn 1/eps ist ja nicht unbedingt eine nat. Zahl.

Damit das eine wird nehmen manche explizit  round(1  + 1/eps ) ;

denn das ist sicher größer als 1/eps.

Comments

(2) Kann ich jetzt nicht einfach sagen, dass N = n > 1/ε ist ?

Genauer aber wohl:  Du nimmst als N eine natürliche Zahl, die größer

als 1/eps ist, diese gibt es nach dem Axiom des Archimedes.

Super, ja, also der Grund warum ich nicht direkt sagen kann, dass N = n > 1/ε ist, 
ist doch dass 1/ε nicht unbedingt eine natürliche Zahl ist, oder? Und damit ich eine Natürliche Zahl bekomme, die sicher drin liegt, runde ich auf, also ich nehme

Im Fall n>1/ε:
N = ⌈1/ε⌉ weil dann ist N sicher Element von IN und meine Indizes müssen aus IN sein.
(4) Richtig ? 

(5) Kann es aber sein, dass ich abrunden muss? Also: 
N = ⌊1/ε⌋ ? 
Falls ja, in welchem Fall muss ich abrunden ?

(6) Die Addition von 1 ist nur ein noch stärkerer  Zusatz, oder?
Denn ich kann sicher sein, dass die Folgenglieder auch bereits mit der Rundungsfunktion korrekt gewählt sind ohne dass ich noch zusätzlich runde? 
Oder ?

Vielen Dank für deine Antwort !