Gegeben seien die Fläche F: z = f(x,y)= -2x3 - y3 und die Ebene ...

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Fläche F: z = f(x,y)= -2x³ - y³  und die Ebene

E:\( \frac{x}{36} \)+\( \frac{y}{18} \)+\( \frac{z}{6} \) =1

(1) In welchen Punkten von ist die Tangentialebene an parallel zu ,
(2) wie groß ist der Abstand zwischen Fläche und Ebene in diesen Punkten und
(3) welches ist jeweils der auf nächste Punkt zur Fläche ?

Answer 1

siehe auch:https://de.wikipedia.org/wiki/Tangentialebene#Tangentialebene_an_den_Graphen_einer_Funktion

Der Normalenvektor der Tangentialebene im Punkt (x,y, z)  ist   n1

 - f_x(x,y)                   6x^2 
- f_y(x,y)          =         3y^2 
       1                          1

Der muss kollinear zum Normalenvektor von E sein, also zu   n2

1
2
6

Damit k*n1 = n2 gilt, muss wegen der 3. Komponente k=6 sein, also

       36x^2 = 1     und   18y^2 = 2

         x=±1/6      und    y = ±1/3

Also sind die bei (1) gesuchten Punkte

die 4 Punkte   (±1/6  ; ±1/3   ; z ).   Und das z lässt sich mit der

Funktionsgleichung bestimmen.

Answer 2

Hallo

 bilde den gradienten  und damit die Tangentialebene, von der Ebene kennst du die Normale, die muss auch die der Tangentialebene sein. wie man den Abstand eins Punktes von einer Ebene berechnet weisst du? oder bring beide in die Hessische Normalform.

3) ist unvollständig und deshalb nicht lesbar.

Gruß lul