Exponentialfunktion: Funktion N mit N(t) = 50 • e^{0,8t-0,02t²}

Question

ich habe freiwillig geübt und hoffe, dass jemand das Ergebnis kontrollieren kann, ob ich richtig gerechnet habe, damit ich für die Zukunft gut vorbereiten kann. Falls ich was falsches gerechnet habe, bitte ich um ausführliche Lösung bzw. Erklärung, damit ich zukünftig mein Fehler lernen kann. Bei 2 Aufgaben weiss ich nicht, wie ich lösen kann, siehe unten rot Markierte.

Siehe Funktion: N mit N(t) = 50 • e^0,8t-0,02t²  ;  N’(t) = e^0,8t-0,02t² • (40 – 2t)  ;  N’’(t)  = e^0,8t-0,02t² • (30 – 3,2t + 0,08t²)

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Berechnen Sie N(0) und interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang mit der Aufgabenstellung

N(t) = 50 • e^0,8t-0,02t²  -->  N(0) = 50 • e^{0,8•0-0,02•0²} = 50  N(0/50)
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Untersuchen Sie die Funktion N auf Nullstellen

Es gilt x = 0
Antwort: Es gibt keine Nullstellen.
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Untersuchen Sie die Funktion N auf Extrempunkte

Notwendige Bedingung: N‘(t) = 0
e0,8t-0,02t² • (40 – 2t) = 0 |S.v.N.P
e0,8t-0,02t² = 0   oder    (40 – 2t) = 0
40 – 2t = 0
– 2t = 40 |:(– 2)
t = – 20
Antwort:  t = – 20 ist die mögliche Extremstelle.

Hinreichende Bedingung: 1.) N‘(t_E) = 0  …|...  2.) N‘‘(t_E) ≠ 0 [oder: 2.) Nl,r(t_E) hat VZW]
zu 1.) N(–20) = e^{0,8•(–20)-0,02•(–20)²} • (40 – 2 • (–20)) = 0
zu 2.) N’’(–20)  = e^{0,8•(–20)-0,02•(–20)²} • (30 – 3,2 • (–20) + 0,08 • (–20)²) = 0
Antwort: t = 0 ist Maximalstelle.

Funktionswert:  N(–20) = 50 • e^{0,8•(–20)-0,02•(–20)²} = 0  Hochpunkt(–20/0)
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Untersuchen Sie die Funktion N auf Wendepunkte

Notwendige Bedingung: N‘‘(t) = 0

e^0,8t-0,02t² • (30 – 3,2t + 0,08t²) = 0  |S.v.N.P.
e^0,8t-0,02t² = 0 oder (30 – 3,2t + 0,08t²) = 0 
30 – 3,2t + 0,08t² = 0 |:0,08
375 – 40t + t² = 0 |p,q-Formel
x_W1 = –  (-40)/2 + √(((-40)/2)^2+375) = 47,84  ;  x_W2 = –  (-40)/2 – √(((-40)/2)^2+375) = – 7,84
Antwort: x_W1 = 47,84 und x_W2 = – 7,84 sind die möglichen Wendestellen.

Hinreichende Bedingung: 1.) N‘(tW) = 0  …|...  2.) N‘‘(tW) ≠ 0 [oder: 2.) Nl,r(tW) hat VZW]

???   Ich weiß nicht, wie ich in der 3. Ableitung rechnen kann und da hab ich dann keine Ahnung, wie ich bei Hinreichende Bedingung zu Ende rechnen kann ..

Funktionswert: 
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Warum spricht man bei diesem Wachstumsprozess von „vergiftetem“ Wachstum? 

???   Ich weiß nicht, was ich Antworten sollte ..

Answer 1

(Zitate sind kursiv gesetzt.)

 

Die Ableitungen hast du richtig berechnet.

 

Untersuchen Sie die Funktion N auf Nullstellen
Es gilt x = 0

Was meinst du damit?

 

40 – 2t = 0
– 2t = 40 |:(– 2)
t = – 20

Hier hast du dich vertan: Aus 40 - 2 t = 0 ergibt sich - 2 t = minus 40  und damit t = plus 20

Daher sind dann leider auch alle nachfolgenden Betrachtungen falsch.

Diese Betrachtungen allerdings finde ich ohnehin etwas merkwürdig...

Die notwendige Bedingung hast du ja bereits berechnet (wenn auch falsch). Es muss also nur noch die hinreichende Bedingung geprüft werden, nämlich, ob N ' ' an dieser Stelle t = 20 einen Wert ungleich Null annimmt. Ist das der Fall, dann liegt an dieser Stelle t = 20 eine Extremstelle vor, nämlich ein Maximum, falls N ' ' ( 20 ) negativ ist bzw. ein Minimum, falls N ' ' ( 20 ) positiv ist.

Deine Antwort, dass bei t = 0 eine Maximalstelle vorliegt, hätte dich sofort stutzig werden lassen müssen, da du doch gerade zuvor berechnet hast, dass nur bei t = - 20 (korrekt: bei t = 20) eine Extremstelle vorliegen kann.

Also berechne:

N ' ' ( 20 ) = e^{0,8*20 - 0,02 * 20²} * (30 – 3,2 * 20 + 0,08 * 20 ²)

= e ^{16 - 8} * ( - 2 ) < 0

da die Exponentialfunktion für jeden Exponenten einen positiven Wert liefert. 

Da also N ' ' ( 20 ) negativ ist, liegt an der Stelle t = 20 tatsächlich ein Extremwert vor, nämlich ein Maximum.

Der Funktionswert der zu untersuchenden Funktion N an dieser Stelle ist:

N ( 20 ) = 50 * e^{0,8*20 - 0,02 * 20²} = 50 * e ⁸ = 149047,9

 

Bei der Untersuchung auf Wendestellen schließlich hast du die pq-Formel falsch angewendet. Diese lautet:

x1,2 = - ( p / 2 ) +/- √ ( ( - p / 2 ) ² minus q )  

Du hast jedoch jeweils plus q (nämlich + 375) gerechnet.

 

Die korrekt berechneten Wendestellen hättest du dann noch in die dritte Ableitung N ' ' ' einsetzen müssen und prüfen müssen, ob sich Werte ungleich Null ergeben. Das wäre hinreichend für den Nachweis der Existenz von Wendestellen gewesen.

 

Insgesamt fürchte ich, wirst du noch etwas üben müssen ...

Comments

Danke, ich hab echt Probleme mit minus und plus. Da vergesse ich oft daran zu achten. Dann muss ich für alle Aufgaben mit plus und minus verbessern.
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Wegen der Nullstelle: „Es gilt x = 0“, habe ich falsch getippt. Es sollte sein: „Es gilt t = 0“. Das ist doch Nullstelle oder? Ich dachte bei Exponentialfunktion gibt es keine Nullstelle, und deshalb habe ich Antwort geschrieben, dass es keine Nullstellen gibt. Dann habe ich mich geirrt.

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Bei Wendepunkten habe ich verbessert und das Ergebnis ist jetzt: x_W1 = 25 und x_W2 = 15 (richtig?). Dann muss ich Hinreichende Bedingung rechnen: 1.) N‘‘(t_W) = 0  …|…  2.) N‘‘‘(t_W) ≠ 0 [oder: 2.) N_l,r‘‘(t_W) hat VZW]. Und ich hoffe, dass ich 3. Ableitung richtig gerechnet habe. Es lautet: N’’‘(t)  = e^0,8t-0,02t² • (0,0064t⁴ – 0,512t³ + 15,04t² – 191,84t + 896,8)

Nun das Ergebnis:

x_W1 = 25
zu 1.) N‘‘(25) = e^{0,8•25-0,02•25²} • (30 – 3,2•25 + 0,08•25²) = 0
zu 2.) N’’‘(25)  = e^{0,8•25-0,02•25²} • (0,0064•254 – 0,512•25³ + 15,04•25² – 191,84•25 + 896,8) = 1446,43 > 0
Antwort: x_W1 = 1446,43 ist Minimalstelle.
Funktionswert:  N(25) = 50 • e^{0,8•25-0,02•25²} = 90402,12    Tiefpunkt(25/90402,12)

x_W2 = 15
zu 1.) N‘‘(15) = e^{0,8•15-0,02•15²} • (30 – 3,2•15 + 0,08•15²) = 0
zu 2.) N’’‘(15)  = e^{0,8•15-0,02•15²} • (0,0064•154 – 0,512•15³ + 15,04•15² – 191,84•15 + 896,8) = –1446,43 < 0
Antwort: x_W2 = – 1446,43 ist Maximalstelle.
Funktionswert:  N(15) = 50 • e^{0,8•15-0,02•15²} = 90402,12    Hochpunkt(15/90402,12)
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Wegen der Frage: „Warum spricht man bei diesem Wachstumsprozess von „vergiftetem Wachstum?“ Wie  soll ich dann beantworten?