Wo schneidet diese Gerade die (x,y)-Ebene?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte P=(4;6;2) u. Q=(5;7;3)
Wie kann man bestimmen, wo diese Gerade die (x,y)-Ebene schneidet? Berechnen Sie den Schnittpunkt.

Ansatz : Die parametergleichung habe ich aufstellen können.

So und jetzt habe ich paar Punkte bestimmt die  in der Ebene liegen a=(0;0;0) b=(1;0;0) c=(0;1;0)

Um jetzt die Frage beantworten zu können wo die gerade die Ebene x,y schneidet muss ich die gerade und die Ebene(Ebenengleichung) gleichsetzten wenn ja, wären die gewählten Punkte richtig??

Answer 1

Ein Punkt auf der Geraden, der in der xy-Ebene liegt, hat die z-Koordinate 0: (2|4|0) wäre ein solcher Punkt.

Answer 2

Wie kann man bestimmen, wo diese gerade die (x,y) Ebene schneidet? Berechnen Sie den Schnittpunkt.

Setze in der Parameterform der Geradengleichung die z-Komponente Null. Den Parameter, den du berechnet hast, kannst du dann in die Geradengleichung einsetzen.

[spoiler]

Die xy-Ebene wird z.B. durch die Koordinatengleichung z = 0 beschrieben.

Analog zu https://www.mathelounge.de/624037/gerade-schneidet-yz-ebene

Answer 3

[4, 6, 2] + r·([5, 7, 3] - [4, 6, 2]) = [x, y, 0] --> x = 2 ∧ y = 4 ∧ r = -2

Der Punkt ist also (2 | 4 | 0).

Answer 4

klingt nach Aktivübung ;)

Habe erst die Parameterform der Gerade aufgestellt: A+r*(B-A):

g:x= \( \begin{pmatrix} 4\\6\\2 \end{pmatrix} \) + r* \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Dann für den Schnittpunkt x,y aufgestellt:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\6\\2 \end{pmatrix} \) + r*\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Nach auflösen: 0=2+r*1 → -2

Jetzt  in die erste und zweite Gleichung einsetzen:

x=4 + r*1 → x=2

y=6 + r*1 → y=4

Schnittpunkt (2,4,0)

Gruß