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Erklärung
Um zu zeigen, dass eine bedingte Dichte auch wieder eine Dichte ist, betrachten wir die drei genannten Bedingungen und beweisen diese für die bedingte Dichte \(f_{X|Y=y_0}(x)\). Diese ist definiert als:
\(f_{X|Y=y_0}(x) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}\)
Die Dichte \(f_{X,Y}\) ist die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\), und \(f_Y\) ist die marginale Dichte von \(Y\).
1. Integrierbarkeit
Zu zeigen, dass \(f_{X|Y=y_0}(x)\) integrierbar ist, bedeutet zu zeigen, dass \(\int f_{X|Y=y_0}(x)dx\) existiert. Dies ist erfüllt, da sowohl \(f_{X,Y}(x,y_0)\) als auch \(f_Y(y_0)\) integrierbare Funktionen als Dichten sind. Daher ist der Quotient, außer vielleicht an Stellen, an denen \(f_Y(y_0) = 0\) ist, ebenfalls integrierbar.
2. Nicht negativ
Wegen \(f_{X,Y}(x,y_0) \geq 0\) und \(f_Y(y_0) > 0\) (es sei denn, \(f_Y\) wäre nicht überall definiert, was einen Ausnahmefall darstellt, den wir hier ausschließen), ist \(f_{X|Y=y_0}(x)\) nicht negativ:
\(f_{X|Y=y_0}(x) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)} \geq 0\)
3. Ergibt 1
Zu zeigen, dass:
\(\int_{-\infty}^{\infty} f_{X|Y=y_0}(x) dx = 1\)
Ersetze \(f_{X|Y=y_0}(x)\) durch seine Definition:
\(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)} dx\)
Ziehe \(f_Y(y_0)\) aus dem Integral heraus, da es nicht von \(x\) abhängt:
\(\frac{1}{f_Y(y_0)}\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y_0) dx\)
Das verbleibende Integral ist nichts anderes als die Definition von \(f_Y(y_0)\), da:
\(f_Y(y_0) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y_0) dx\)
Somit wird der obige Ausdruck zu:
\(\frac{1}{f_Y(y_0)} \cdot f_Y(y_0) = 1\)
Dadurch wurde gezeigt, dass die bedingte Dichte \(f_{X|Y=y_0}(x)\) die drei notwendigen Bedingungen erfüllt, um eine Dichtefunktion zu sein: Sie ist integrierbar, nicht negativ und integriert sich zu 1 über ihren gesamten Definitionsbereich.
