Näherungsverfahren für sehr kleine Zahlen

Question

Zur Zeit muss ich öfters mit Zahlen, wie die Folgende : sqrt(1-7.2*10^-14) rechnen. Nun ist leider die Rechnung noch nicht fertig, aber mein Taschenrechner rundet dies schon auf 1. Er rechnet selbst mit 1 wenn ich die gesamte Rechnung eintippe (habe zum Glück einen, der dies akzeptiert)...

Nun meine Frage an euch: Kennt ihr ein Verfahren/Möglichkeit, mit dem ich (von mir aus auch schriftlich) in diesen Zahlenbereich komme bzw. damit rechnen kann?

Vielen Dank für eure Antwort im Voraus. :D

Comments

Vielleicht mit der dritten binomischen Formel rückwärts angewendet.

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Vielleicht kannst du Wolfram Aplha nutzen
https://www.wolframalpha.com/

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Die übliche Näherung liefert 1 - 3,6·10^-14

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@Spacko kannst du mir dies bitte genauer erläutern?

@georgborn Technisch gesehen die ideale Lösung, aber leider geht es nicht während einer Prüfung

@Gast hj2166 wie kommst du auf diese Näherung?

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Entwickle die Wurzelfunktion nach Taylor bis zum linearen Glied.

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Solange du dich in der Schulmathematik bewegst, sollte die Näherung

sqrt(1-7.2*10^-14)≈1 wohl ausreichen ;). Die Abweichung ist so klein, dass sie bei normalen Aufgaben keine Probleme bereitet.

Answer 1

99% der Taschenrechner sind für numerische Berechnungen mit mehr als 14 Stellen absolut ungeeignet! Siehe §3 bei

http://www.gerdlamprecht.de/GrobeFPU_Fehler.htm

da nur näherungsweise gerechnet wird und oft nicht mal 6 Nachkommastellen stimmen!!!

Dabei hat jeder ein Handy mit Hochleistungs-CPU in der Tasche!

Fehlt nur die richtige Software. Es muss auch nicht teuer gekaufte sein. Hier 2 Beispiele für kostenloses Rechnen:

a) https://www.wolframalpha.com

lautet der Befehl für 143 Nachkommastellen: N[Sqrt[1 - 72/10^15], 143]

b) Beim Iterationsrechner http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

lautet der Befehl für 77 Nachkommastellen:

aB[0]=bigc(1,'1.00','0.00000000000007200');aB[1]=bigc(10,MitGenau(aB[0],77),'2');

c) bc für mehr als 1000 Stellen (frage nach bei Interesse)

Hinweis: natürlich sind Handy-Rechner nicht für Klassenarbeiten zugelassen, aber kein Lehrer stellt Aufgaben in der Schule, die zwingend 14 Nachkommastellen erfordern -> der will nur Überschlagsergebnisse oder sehen, ob die Schüler den Rechner richtig bedienen können (oder richtig runden können).

Comments

Kannst du mir bitte die Funktionsweise von dem Rechner b) erklären? (inkl. Bedienung?)

Zu c) Ich denke mal, ich sollte mir dann eine Software wie Mathematica kaufen?

Ja, ich denke solche Aufgaben zu stellen wäre ein wenig Suboptimal um es während einer Klassenarbeit zu lösen... 

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zu c) nein, https://www.gnu.org/software/bc/

ist kostenlos.

zu b) Gleich über dem Bild ist der LINK zur Hilfe:

http://www.gerdlamprecht.de/Iterationsrechner-Funktionen-Syntax.htm

Rechner baut auf JavaScript auf (Math. muss weggelassen werden).

Um mehr als die double Genauigkeit von 15 Stellen zu bekommen, gibt es String-Funktionen wie bigc(...)

Mit Strg + F kann man auf der Hilfe-Seite nach bigc suchen: bigc(Mod,str1,str2)

Mod ist Modus/Funktion, die mit diesen beiden Strings behandelt werden soll. Die Genauigkeit ergibt sich aus der String-Länge.

Division ist Mod=3

aB[0]=bigc(3,"22.0","7"); ergibt 22/7 = 3.14285714285714285

für 33 Stellen könnte man nach dem Punkt 33 Nullen hängen oder kürzer:

aB[0]=bigc(3,MitGenau("22.0",33),"7");

bigc(1 ist sub

bigc(10, Wurzel usw.

Zig Beispiele sind bereits hinterlegt. Beispiel 4 & 118 für Newton-Iteration. usw.

Mit aktivem URL kann man den kompletten Algorithmus exportieren.

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#i=0;@Na=2;@N@B0]=bigc(1,'1.00','0.00000000000007200');@B1]=bigc(10,MitGenau(@B0],77),'2');@Ni%3E0@N0@N0@Ni=2;

Ein Klick -> und Button "Berechnungen starten.." fertig.

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Danke viel mal, du hast mir sehr geholfen :)

Answer 2

Wähle die Exponentialschreibweise

1-(7.2E-14)

oder schalte ggt. diesen Modus...

Bei Additionen wird sich aber eine Rundung nicht vermeiden lassen - Du bewegst Dich vermutlich an der Genauigkeitsgrenze der Maschinenzahlen und der anzuzeigenden Stellenanzahl.

Das geht z.B.

Comments

Es ist 3 Stellen nach der Grenze bei der mein Taschenrechner zahlen anzeigen kann...

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Wenn Du exakt rechnen willst dann verwende ein CAS, z.B: GeoGebra

1-(7.2*10^-14)

>124999999999991 / 125000000000000

Numeric(1-(7.2*10^-14),20)

>0.99999999999992800000

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Kannst du mir bitte das mit dem CAS genauer erklären?

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Ein CAS rechnet symbolisch, kann also auch Variablen verarbeiten. So was wie √2 wird nicht in einen dezimal gerundeten Wert umgetauscht, sondern wie eine Variable exakt in der Berechnung mitgeführt.

GeoGebra CAS ist nur ein Beispiel, das frei verfügbar ist und relativ einfach zu bedienen ist, wenn die Aufgaben nicht zu umfangreich ausfallen.

Du kannst es ausprobieren

https://www.geogebra.org/cas

Dein Rechenbeispiel wird in einen möglichst genauen Bruch umgewandelt, mit Numeric wandle ich das Ergebnis in eine (ich sag mal) beliebig lange Dezimalzahl (20 stellen) um. Also pi auf 100 oder 1000 stellen kein Problem...

Numeric(pi,1000)

oder eine Gleischung lösen

solve(a x^2+ b x + c = 0, x)

Du kennst das Ergebnis?

Was willst Du denn genau wissen oder machen?