Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x, y und für alle reellen \varepsilon 0 gilt:

Question

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1. Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen \( x, y \) und für alle reellen \( \varepsilon>0 \) gilt:
\( 2|x y| \leq \varepsilon^{2} x^{2}+\frac{1}{\varepsilon^{2}} y^{2} . \)

Wann tritt bei gegebenem \( \varepsilon>0 \) der Gleichheitsfall ein?
Tipp: Verwenden Sie die Binomische Formel.
2. Zeigen Sie, dass für alle \( x, y \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) gilt:
\( \left|\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right| \geq 2 \text {. } \)

Hallo! Was wäre hier die Lösung für diese Aufgabe?

Answer 1

\( 2|x y| \leq \varepsilon^{2} x^{2}+\frac{1}{\varepsilon^{2}} y^{2} . \) 

ist äquivalent zu

\( 0 \leq \varepsilon^{2} x^{2}-2|x y|+\frac{1}{\varepsilon^{2}} y^{2} \)

\( 0 \leq (\varepsilon |x|-\frac{1}{\varepsilon} |y|)^2 .\)

Answer 2

Aloha :)

Da Quadratzahlen stets \(\ge0\) sind, gilt:$$0\le\left(\varepsilon |x|-\frac{|y|}{\varepsilon}\right)^2=(\varepsilon |x|)^2-2\cdot(\varepsilon |x|)\cdot\frac{|y|}{\varepsilon}+\left(\frac{|y|}{\varepsilon}\right)^2=\varepsilon^2x^2-2|xy|+\frac{y^2}{\varepsilon^2}$$Umstellung der Ungleichung liefert:$$2|xy|\le\varepsilon^2x^2+\frac{y^2}{\varepsilon^2}$$

Und das funktioniert auch mit der zweiten Ungleichung.

1. Fall: \(xy>0\)$$0\le(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=\underbrace{xy}_{>0}\cdot\underbrace{\left(\frac xy-2+\frac yx\right)}_{\ge0}\implies\frac xy+\frac yx\ge2$$Wegen \(xy>0\) haben \(x\) und \(y\) dasselbe Vorzeichen, sodass auch \(\frac xy\) und \(\frac yx\) positiv sind.

2. Fall: \(xy<0\)$$0\le(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=\underbrace{xy}_{<0}\cdot\underbrace{\left(\frac xy+2+\frac yx\right)}_{\le0}\implies\frac xy+\frac yx\le-2$$Wegen \(xy<0\) haben \(x\) und \(y\) unterschiedliche Vorzeichen, sodass auch \(\frac xy\) und \(\frac yx\) negativ sind.

Zusammengefasst gilt also:\(\quad\left|\frac xy+\frac yx\right|\ge2\) für \(xy\ne0\).